Sejam
uma função derivável e
uma função de duas variáveis. Se para algum ponto
existem
e
, verifique que vale
Passo 1
A questão envolve uma função de uma variável $\phi: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diferenciável e uma função de duas variáveis \f: A\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\ cujo ponto \(a,b)\in A\ tem derivadas parciais existentes. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar usar a definição de derivada parcial via limite junto com a diferenciabilidade de \phi\.
Passo 2
Começamos pela definição de derivada parcial em \x\ de \(\phi\circ f)\ em \(a,b):\
$$
\frac{\partial (\phi\circ f)}{\partial x}(a,b)
= \lim_{h\to 0} \frac{\phi\bigl(f(a+h,b)\bigr)-\phi\bigl(f(a,b)\bigr)}{h}.
$$
\frac{\partial (\phi\circ f)}{\partial x}(a,b)
= \lim_{h\to 0} \frac{\phi\bigl(f(a+h,b)\bigr)-\phi\bigl(f(a,b)\bigr)}{h}.
$$
Passo 3
Para usar a regra da cadeia, escrevemos o quociente como produto de dois fatores:
$$
\frac{\phi(f(a+h,b))-\phi(f(a,b))}{h}
= \underbrace{\frac{\phi(f(a+h,b))-\phi(f(a,b))}{f(a+h,b)-f(a,b)}}{\to \phi’(f(a,b))};
\underbrace{\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}}{\to \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)}.
$$
\frac{\phi(f(a+h,b))-\phi(f(a,b))}{h}
= \underbrace{\frac{\phi(f(a+h,b))-\phi(f(a,b))}{f(a+h,b)-f(a,b)}}{\to \phi’(f(a,b))};
\underbrace{\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}}{\to \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)}.
$$
Passo 4
Pela diferenciabilidade de \phi\ em \f(a,b)\, o primeiro fator tende a \phi’(f(a,b))\ quando \h\to 0\. Pela existência de \partial f/\partial x(a,b)\, o segundo tende a \partial f/\partial x(a,b)\.
Passo 5
Como o limite de um produto é o produto dos limites (já que ambos existem e são finitos), concluímos:
$$
\frac{\partial (\phi\circ f)}{\partial x}(a,b)
= \phi’(f(a,b)) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(a,b).
$$
\frac{\partial (\phi\circ f)}{\partial x}(a,b)
= \phi’(f(a,b)) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(a,b).
$$
O mesmo raciocínio vale trocando \x\ por \y\, mostrando que
$$
\frac{\partial (\phi\circ f)}{\partial y}(a,b)
= \phi’(f(a,b)) \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(a,b).
$$
\frac{\partial (\phi\circ f)}{\partial y}(a,b)
= \phi’(f(a,b)) \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(a,b).
$$
Passo 6
Aí está a regra da cadeia aplicada a derivadas parciais de \(\phi\circ f)\.
Resposta
[
\frac{\partial(\phi\circ f)}{\partial x}(a,b) = \phi’(f(a,b)) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)
]
[
\frac{\partial(\phi\circ f)}{\partial y}(a,b) = \phi’(f(a,b)) \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)
]
\frac{\partial(\phi\circ f)}{\partial x}(a,b) = \phi’(f(a,b)) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)
]
[
\frac{\partial(\phi\circ f)}{\partial y}(a,b) = \phi’(f(a,b)) \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)
]