1. Mostre que S=1,1-x, 1+x^2 é uma base de P2;
  2. Mostre que o conjunto W=1,1+x, x+x^2 é um subespaço vetorial de P3 e que W=P2.
  3. Mostre que o conjunto S=(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3) é uma base de R^3. Exprima o vetor (-13, 5,-1) como combinação linear dos elementos dessa base.
  4. Mostre que o conjunto W=alpha v+beta u mid u, v in R^n, alpha, beta in R é um subespaço vetorial de R^n.
  5. Mostre que os polinômios 1, x-1 e x^2-3 x+1 formam uma base de P2. Exprima o polinômio 2 x^2-5 x+6 como combinação linear dos elementos dessa base.
  6. Sejam W1=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 e z-t=0 e W2=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y-z+t=0 subespaços de R^4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = ,1,;1 - x,;1 + x^2
é base de P2, o espaço dos polinômios de grau ≤ 2. Para isso, basta provar que esses três vetores (polinômios) são linearmente independentes e, como dim P2=3, isso garante que eles geram P2.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
acdot 1 ;+; b,(1 - x);+; c,(1 + x^2) ;=; 0,
isto é, o polinômio identicamente zero. Expandindo, obtemos
(a + b + c);+;(-b),x;+;c,x^2 ;=; 0cdot x^2 + 0cdot x + 0
Igualando coeficientes, surge o sistema
a + b + c = 0, -,b = 0, c = 0
Da segunda equação vem b=0, da terceira c=0 e, então, da primeira a=0. Logo, a=b=c=0, o que mostra que S é linearmente independente.

Passo 3

Como S tem 3 elementos e dim P2=3, a independência linear implica que S é uma base de P2.

Passo 4

O conjunto
W = ,1,;1 + x,;x + x^2
é subconjunto de P3. Primeiro mostramos que W é subespaço (fechamento em soma e escalar), depois mostramos que na verdade W=P2.

Passo 5

Fechamento sob combinação linear: dados p = acdot1 + b,(1+x) + c,(x+x^2) e q = a'cdot1 + b',(1+x) + c',(x+x^2) e escalar lambda, tem-se
p+q = (a+a')cdot1 + (b+b'),(1+x) + (c+c'),(x+x^2)in W,
lambda p = (lambda a)cdot1 + (lambda b),(1+x) + (lambda c),(x+x^2)in W
Logo, W é subespaço.

Passo 6

Mostramos que
procuramos tais que
Basta resolver
Sempre há solução e .

Passo 7

Temos
S = ,v1=(1,2,0),;v2=(1,3,2),;v3=(0,1,3)
em R^3. Primeiro mostramos independência linear (logo é base, pois são 3 vetores em R^3), depois expressamos l(-tfrac13,5,-1r) na base.

Passo 8

Para independência, considere
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (a+b,;2a+3b+c,;2b+3c) = (0,0,0)
Isso gera o sistema
a + b = 0, 2a + 3b + c = 0, 2b + 3c = 0
Da primeira equação a=-b. Substituindo nas demais, chega-se a b=0, depois c=0 e enfim a=0. Logo, é base.

Passo 9

Para escrever
Da última (c = \frac{-1 - 2b}{3}]. Substituindo nas duas primeiras, obtém-se

Passo 10

Defina
W = alpha,v + beta,u mid u,vinR^n,;alpha,betainR
Mostraremos que W é subespaço de R^n.

Passo 11

  1. O vetor nulo está em W pois basta tomar alpha=beta=0: 0 = 0cdot v + 0cdot u.
  2. Se w1=alpha1v+beta1u e w2=alpha2v+beta2u estão em W, então
w1+w2 = (alpha1+alpha2),v + (beta1+beta2),uin W
  1. Se lambdainR,
lambda w1 = (lambdaalpha1),v + (lambdabeta1),uin W
Portanto W é subespaço.

Passo 12

O conjunto
,1,;x-1,;x^2-3x+1
está em P2. Mostramos independência linear (logo base) e depois expressamos 2x^2-5x+6.

Passo 13

Considere
acdot1 + b,(x-1) + c,(x^2-3x+1) = 0
Expandindo,
(a - b + c);+;(b - 3c),x;+;c,x^2 = 0
Igualando coeficientes dá c=0, b-3c=0implies b=0, a-b+c=0implies a=0. Assim são independentes e, como há 3 vetores em P2, formam base.

Passo 14

Para escrever
2x^2-5x+6 = acdot1 + b,(x-1) + c,(x^2-3x+1),
comparamos coeficientes em
(a - b + c) + (b - 3c)x + c,x^2 = 6 - 5x + 2x^2
Obtemos o sistema
a - b + c = 6, b - 3c = -5, c = 2
Daí c=2, b = -5 + 3cdot2 = 1, a = 6 + b - c = 6 + 1 - 2 = 5.

Resposta

,1,;x-1,;x^2-3x+1
é base de P2 e
2x^2-5x+6 ;=; 5cdot1 ;+;1,(x-1);+;2,(x^2-3x+1)
(23)
Não é possível resolver pois o enunciado não especifica o que se deseja calcular a respeito de W1 e W2.

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