Mostre que o conjunto é um subespaço vetorial de e que .
Mostre que o conjunto é uma base de . Exprima o vetor como combinação linear dos elementos dessa base.
Mostre que o conjunto é um subespaço vetorial de .
Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como combinação linear dos elementos dessa base.
Sejam e e subespaços de .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é base de , o espaço dos polinômios de grau ≤ 2. Para isso, basta provar que esses três vetores (polinômios) são linearmente independentes e, como , isso garante que eles geram .
Passo 2
Considere a combinação linear nula
isto é, o polinômio identicamente zero. Expandindo, obtemos
Igualando coeficientes, surge o sistema
Da segunda equação vem b=0, da terceira c=0 e, então, da primeira a=0. Logo, a=b=c=0, o que mostra que S é linearmente independente.
Passo 3
Como S tem 3 elementos e dim P2=3, a independência linear implica que S é uma base de P2.
Passo 4
O conjunto
W = ,1,;1 + x,;x + x^2
é subconjunto de P3. Primeiro mostramos que W é subespaço (fechamento em soma e escalar), depois mostramos que na verdade W=P2.
Passo 5
Fechamento sob combinação linear: dados p = acdot1 + b,(1+x) + c,(x+x^2) e q = a'cdot1 + b',(1+x) + c',(x+x^2) e escalar lambda, tem-se