Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que, para todo número natural
, o inteiro
é múltiplo de 3 (ou seja,
). O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e aritmética modular, e vamos usar congruências para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembramos que dizer
equivale a
. Nas congruências, definimos
quando
divide
. Então nosso objetivo vira mostrar
Passo 3
Agora vamos usar o fato (que pode ser provado por checar os possíveis restos mod 3) de que
te dá sempre
Esse resultado sai rápido observando: se
, então
; se
,
; se
,
.
Passo 4
Finalmente, usando
temos
Isso prova que
deixa resto zero na divisão por 3, ou seja,
para todo
.