Mostre que .

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que, para todo número natural n, o inteiro n^3+2n é múltiplo de 3 (ou seja, 3mid(n^3+2n)). O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade e aritmética modular, e vamos usar congruências para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembramos que dizer 3mid a equivale a aequiv 0pmod3. Nas congruências, definimos aequiv bpmod3 quando 3 divide a-b. Então nosso objetivo vira mostrar
n^3+2nequiv 0pmod3

Passo 3

Agora vamos usar o fato (que pode ser provado por checar os possíveis restos mod 3) de que
nequiv 0,1 ou 2pmod3
te dá sempre
n^3equiv npmod3
Esse resultado sai rápido observando: se nequiv0, então n^3equiv0; se nequiv1, n^3equiv1; se nequiv2, n^3equiv8equiv2pmod3.

Passo 4

Finalmente, usando n^3equiv npmod3 temos
n^3+2nequiv n+2n=3nequiv0pmod3
Isso prova que n^3+2n deixa resto zero na divisão por 3, ou seja, 3mid(n^3+2n) para todo ninN.

Resposta

forall ninN,,3midl(n^3+2nr)

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