Seja B uma base para o espaço vetorial dimensional n V sobre o corpo K e deixe V seja uma sequência de vetores em V. Prove que K^n é uma base para se e somente se ( , for um base para .

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial V de dimensão n sobre um corpo K, com uma base fixa B. Dada uma sequência de vetores (u1,dots,un) em V, queremos provar que eles formam uma base de V se, e somente se, suas coordenadas em relação a B, isto é, [u1]B,dots,[un]B, formam uma base de K^n. Vamos usar o fato de que o mapa de coordenadas em relação a uma base fixa é um isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, recordemos que uma sequência de n vetores é base se e somente se ela é linearmente independente e gera todo o espaço. Assim, precisamos mostrar duas equivalências: (1) independência linear de u1,dots,un Leftrightarrow independência linear de [u1]B,dots,[un]B, e (2) geração de V por ui Leftrightarrow geração de K^n por [ui]B.

Passo 3

Para a independência linear, suponha que exista uma combinação linear nula em V:
a1u1 + a2u2 + cdots + anun = 0V
Aplicando o isomorfismo de coordenadas varphi:VtoK^n dado por varphi(v)=[v]B, obtemos
a1[u1]B + a2[u2]B + cdots + an[un]B = [0V]B = (0,dots,0)

Passo 4

Como varphi é bijetora, a única combinação que dá zero em K^n é a trivial a1=cdots=an=0. Logo, (ui) é L.I. em V se e somente se ([ui]B) é L.I. em K^n.

Passo 5

Para a geração, seja qualquer vetor vin V. Ele tem coordenadas [v]BinK^n. Se [u1]B,dots,[un]B geram K^n, então existem ai tais que
[v]B = a1[u1]B + cdots + an[un]B
Aplicando o inverso de varphi, concluímos
v = a1u1 + cdots + anun,o que mostra que (ui) gera V. Reciprocamente, se (ui) gera V, então para todo winK^n existe vin V tal que [v]B = w, e esse v é combinação dos ui, o que garante que ([ui]B) gera K^n.

Passo 6

Juntando as duas partes, vemos que (u1,dots,un) é base de V (L.I. e geradora) se e somente se ([u1]B,dots,[un]B) é base de K^n.

Resposta

Como o mapa de coordenadas em relação a B é isomorfismo, (u1,dots,un) é base de V se e somente se ([u1]B,dots,[un]B) é base de K^n.

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