Seja
uma base para o espaço vetorial dimensional
sobre o corpo
e deixe
seja uma sequência de vetores em
. Prove que
é uma base para
se e somente se (
, for um base para
.
Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial V de dimensão n sobre um corpo
, com uma base fixa
. Dada uma sequência de vetores
em V, queremos provar que eles formam uma base de V se, e somente se, suas coordenadas em relação a B, isto é,
, formam uma base de
. Vamos usar o fato de que o mapa de coordenadas em relação a uma base fixa é um isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, recordemos que uma sequência de n vetores é base se e somente se ela é linearmente independente e gera todo o espaço. Assim, precisamos mostrar duas equivalências: (1) independência linear de
independência linear de
, e (2) geração de V por
geração de
por
.
Passo 3
Para a independência linear, suponha que exista uma combinação linear nula em V:
Aplicando o isomorfismo de coordenadas
Passo 4
Como
é bijetora, a única combinação que dá zero em
é a trivial
. Logo,
é L.I. em V se e somente se
é L.I. em
.
Passo 5
Para a geração, seja qualquer vetor
. Ele tem coordenadas
. Se
geram
, então existem
tais que
Aplicando o inverso de
Passo 6
Juntando as duas partes, vemos que
é base de V (L.I. e geradora) se e somente se
é base de
.
Resposta
Como o mapa de coordenadas em relação a B é isomorfismo,
é base de V se e somente se
é base de
.