Seja T: U V uma transformação linear. Mostre que
T(-u)=-T(u), para cada u in U.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma transformação linear T: U to V, a imagem do vetor -u é o oposto de T(u). O conteúdo aqui é a definição de transformação linear e sua aplicação ao escalar -1.

Passo 2

Uma transformação T é linear se satisfaz duas propriedades fundamentais para todos u, v in U e todo escalar alpha:
  • T(u + v) = T(u) + T(v)
  • T(alpha u) = alpha,T(u)
    Essas propriedades vêm diretamente da definição de linearidade.

Passo 3

Para obter T(-u), note que -u é apenas o escalar -1 multiplicado por u. Aplicando a propriedade de homogeneidade (segunda propriedade) com alpha = -1, temos:
T(-u) = T((-1)u) = (-1),T(u)
Por definição de multiplicação por -1, isso implica que (-1),T(u) = -T(u).

Resposta

T(-u) = -T(u)

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