Seja
uma transformação linear. Mostre que
, para cada
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em uma transformação linear
, a imagem do vetor
é o oposto de
. O conteúdo aqui é a definição de transformação linear e sua aplicação ao escalar
.
Passo 2
Uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades fundamentais para todos
e todo escalar
:
-
-
Essas propriedades vêm diretamente da definição de linearidade.
Passo 3
Para obter
, note que
é apenas o escalar
multiplicado por
. Aplicando a propriedade de homogeneidade (segunda propriedade) com
, temos:
Por definição de multiplicação por
, isso implica que
.