Mostre que
38 <= integral0^2 raiz1-x1+x d x <= raiz34.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
38 <= integral0^2raiz1 - x1 + x,dx <= raiz34
Para analisar isso, primeiro precisamos verificar em que intervalo a função
f(x)=raiz1 - x1 + x
está bem definida como número real.

Passo 2

Dentro da raiz temos tfrac1-x1+x. Para que essa fração seja não‐negativa e real, é preciso que o numerador e o denominador tenham o mesmo sinal. Como 1+x>0 para todo x>=0, basta exigir
1 - x ;>=;0 Longrightarrow x ;<=;1
Logo, em todo o subintervalo 1 < x <= 2 a expressão tfrac1-x1+x é negativa, e sua raiz quadrada é um número imaginário. Portanto o integrando não é real em (1,2].

Passo 3

Como a integral
integral0^2raiz1 - x1 + x,dx
envolve valores imaginários para x>1, não faz sentido afirmá‐la como um número real nem estimar os limites dados no enunciado. Em outras palavras, não existe essa integral como valor real nos termos propostos.

Resposta

Não é possível resolver a desigualdade no enunciado porque o integrando raiztfrac1 - x1 + x deixa de ser real para x>1, tornando a integral de 0 a 2 indefinida no conjunto dos números reais.

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