Mostre que
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra mostrar que
Isso é teoria de conjuntos básica: união, interseção e diferença simétrica.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Definir
. - Provar duas inclusões (cada lado contido no outro), porque conjuntos são iguais quando cada um está contido no outro.
Passo 2
Provar
.
- Pegamos um elemento arbitrário
. - Então ou
-
, ou -
.
-
- Se
, por definição de diferença simétrica significa que ou mas não em , ou mas não em .
De qualquer jeito, sobrou queou . Logo . - Se
, aí já sabemos que e , então claro . - Concluímos que seja qual for o caso,
. - Assim,
.
Passo 3
Provar
.
- Pegamos
. - Então
ou . - Se
e ao mesmo tempo, então . - Se
mas não em , aí . - Se
mas não em , simetricamente . - Em todas as possibilidades,
. - Logo
.
Resposta
Como mostramos as duas inclusões, concluímos que