Mostre que se
, então
, onde
é o polinômio de Taylor de ordem 1 e centro
de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e diz que
é o polinômio de Taylor de ordem
centrado em
. Pede para mostrar que, sempre que
,
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O centro do polinômio de Taylor é
. - A condição sobre os pontos é
. - Objetivo: estimar o resto da aproximação linear por
e obter a desigualdade acima.
Passo 2
Calcular explicitamente
(polinômio de Taylor de ordem
em torno de
).
Primeiro, avaliar
e as derivadas parciais em
:
As derivadas parciais são
Avaliando em
dá
O polinômio de Taylor de ordem
centrado em
é, por definição,
Logo
Passo 3
Simplificar a expressão do erro usando a dependência de
apenas na combinação
.
Defina
Então
e
. Portanto o erro que queremos estimar reduz-se a
O problema passa a ser mostrar, sob a hipótese
,
Passo 4
Aplicar o Teorema do Resto de Taylor (forma de Lagrange) para a função univariada
.
O Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange diz que, para
e algum
entre
e
,
Aqui
satisfaz
. Substituindo obtemos que existe
entre
e
tal que
Assim o resto (diferença) é exatamente
Como
, a natureza do valor absoluto é simples:
Passo 5
Obter uma cota numérica para
usando a hipótese
, e concluir a desigualdade desejada.
Como
fica entre
e
, tem-se
. Pela hipótese
segue
, logo
Portanto
Usando a desigualdade numérica
(sabendo que
), obtemos
Portanto
Voltando à notação original com
, isto é exatamente
sempre que
. Isso prova a desigualdade pedida.