Verifique que se x=\left(x_{1}, x_{2}\right) é tal que \left|x_{1}-1\right|<1,\left|x_{2}-1\right|<1 então, \left|f(x)-P_{1}(x-a)\right|< 7\left|x_{1}-1\right|^{2}+6\left|x_{2}-1\right|^{2}, onde P_{1}(h), h=\left(h_{1}, h_{2}\right) é o polinômio de Taylor de ordem 1 e centro a=(1,1) da função f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-x_{1}^{2}+4 x_{2}+5.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para mostrar uma desigualdade para a diferença entre f(x) e o polinômio de Taylor de ordem 1 centrado em a=(1,1). Lista do que foi dado e do que se pede:
  • A função é f\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-x_{1}^{2}+4x_{2}+5.
  • O ponto central é a=(1,1).
  • x=(x_{1},x_{2}) satisfaz \left|x_{1}-1\right|<1 e \left|x_{2}-1\right|<1.
  • Definindo h=x-a=(h_{1},h_{2}) tem-se h_{1}=x_{1}-1 e h_{2}=x_{2}-1.
    O objetivo: verificar que
\left|f(x)-P_{1}(x-a)\right|<7\left|x_{1}-1\right|^{2}+6\left|x_{2}-1\right|^{2}.

Passo 2

Vamos construir explicitamente o polinômio de Taylor de ordem 1 em a. Lembrando: o polinômio de Taylor de ordem 1 centrado em a é
P_{1}(h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h,
onde \nabla f(a) é o gradiente de f avaliado em a, e h=(h_{1},h_{2}).
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=3x_{1}^{2}-2x_{1}, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=3x_{2}^{2}+4.
Avalie em a=(1,1):
f(1,1)=1^{3}+1^{3}-1^{2}+4\cdot1+5=1+1-1+4+5=10,
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(1,1)=3\cdot1^{2}-2\cdot1=1, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{2}}(1,1)=3\cdot1^{2}+4=7.
Portanto o gradiente é \nabla f(1,1)=(1,7) e
P_{1}(h)=10 + (1)\,h_{1} + (7)\,h_{2}.
Em termos de x (com h_{i}=x_{i}-1):
P_{1}(x-a)=10 + (x_{1}-1) + 7(x_{2}-1).

Passo 3

Agora precisamos estudar o resto R(x):=f(x)-P_{1}(x-a). Na forma de Taylor com resto na forma de Lagrange (ou segundo ordem), existe \theta\in(0,1) tal que
R(x)=\tfrac{1}{2}\;h^{T}H\big(a+\theta h\big)\,h,
onde H é a matriz Hessiana de f (matriz das segundas derivadas parciais) e h=x-a. Isso é uma versão do teorema do resto de Taylor para funções de várias variáveis: o erro é dado por meio das segundas derivadas avaliadas em algum ponto intermediário entre a e x.
Calculemos a Hessiana H. As segundas derivadas são:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}(x_{1},x_{2})=6x_{1}-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}(x_{1},x_{2})=6x_{2},
e as derivadas mistas são nulas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=0.
Logo, para algum \xi=a+\theta h (com \theta\in(0,1)) vale
H(\xi)=\begin{pmatrix}6\xi_{1}-2 & 0 \\[4pt] 0 & 6\xi_{2}\end{pmatrix}.
Substituindo no resto:
R(x)=\tfrac{1}{2}\big((6\xi_{1}-2)h_{1}^{2} + (6\xi_{2})h_{2}^{2}\big).]

Passo 4

Vamos agora obter desigualdades numéricas para \left|R(x)\right| usando as hipóteses \left|x_{1}-1\right|<1 e \left|x_{2}-1\right|<1.
Como \xi está no segmento entre a=(1,1) e x, tem-se \xi_{1} entre 1 e x_{1}. Pelo fato de \left|x_{1}-1\right|<1 segue que x_{1}\in(0,2), e portanto \xi_{1}\in(0,2). Assim
6\xi_{1}-2 \in (-2,10)\quad\Rightarrow\quad \left|6\xi_{1}-2\right|<10.
Analogamente, \xi_{2}\in(0,2) e
6\xi_{2}\in(0,12)\quad\Rightarrow\quad \left|6\xi_{2}\right|<12.
Use essas desigualdades no valor absoluto de R(x):
\left|R(x)\right| = \left|\tfrac{1}{2}\big((6\xi_{1}-2)h_{1}^{2} + (6\xi_{2})h_{2}^{2}\big)\right| \le \tfrac{1}{2}\big(\left|6\xi_{1}-2\right|\,h_{1}^{2} + \left|6\xi_{2}\right|\,h_{2}^{2}\big).
Pelo que encontramos,
\left|R(x)\right|< \tfrac{1}{2}\big(10\,h_{1}^{2} + 12\,h_{2}^{2}\big)=5\,h_{1}^{2}+6\,h_{2}^{2}.

Passo 5

Recordando h_{1}=x_{1}-1 e h_{2}=x_{2}-1, a desigualdade do Passo 4 é
\left|f(x)-P_{1}(x-a)\right|=\left|R(x)\right|<5\left|x_{1}-1\right|^{2}+6\left|x_{2}-1\right|^{2}.
Finalmente, como 5\left|x_{1}-1\right|^{2}<7\left|x_{1}-1\right|^{2} para todo x (os quadrados são não negativos), obtemos a desigualdade desejada:
\left|f(x)-P_{1}(x-a)\right|<7\left|x_{1}-1\right|^{2}+6\left|x_{2}-1\right|^{2}.

Resposta

\left|f(x)-P_{1}(x-a)\right|<7\left|x_{1}-1\right|^{2}+6\left|x_{2}-1\right|^{2}

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