Verifique que se x=\left(x_{1}, x_{2}\right) é tal que \left|x_{1}-1\right|<1,\left|x_{2}-1\right|<1 então, \left|f(x)-P_{1}(x-a)\right|< 7\left|x_{1}-1\right|^{2}+6\left|x_{2}-1\right|^{2}, onde P_{1}(h), h=\left(h_{1}, h_{2}\right) é o polinômio de Taylor de ordem 1 e centro a=(1,1) da função f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-x_{1}^{2}+4 x_{2}+5.
Passo 1
O enunciado dá a função f e pede para mostrar uma desigualdade para a diferença entre f(x) e o polinômio de Taylor de ordem 1 centrado em a=(1,1). Lista do que foi dado e do que se pede:
A função é f\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-x_{1}^{2}+4x_{2}+5.
O ponto central é a=(1,1).
x=(x_{1},x_{2}) satisfaz \left|x_{1}-1\right|<1 e \left|x_{2}-1\right|<1.
Definindo h=x-a=(h_{1},h_{2}) tem-se h_{1}=x_{1}-1 e h_{2}=x_{2}-1.
O objetivo: verificar que
Agora precisamos estudar o resto R(x):=f(x)-P_{1}(x-a). Na forma de Taylor com resto na forma de Lagrange (ou segundo ordem), existe \theta\in(0,1) tal que
R(x)=\tfrac{1}{2}\;h^{T}H\big(a+\theta h\big)\,h,
onde H é a matriz Hessiana de f (matriz das segundas derivadas parciais) e h=x-a. Isso é uma versão do teorema do resto de Taylor para funções de várias variáveis: o erro é dado por meio das segundas derivadas avaliadas em algum ponto intermediário entre a e x.
Calculemos a Hessiana H. As segundas derivadas são:
Vamos agora obter desigualdades numéricas para \left|R(x)\right| usando as hipóteses \left|x_{1}-1\right|<1 e \left|x_{2}-1\right|<1.
Como \xi está no segmento entre a=(1,1) e x, tem-se \xi_{1} entre 1 e x_{1}. Pelo fato de \left|x_{1}-1\right|<1 segue que x_{1}\in(0,2), e portanto \xi_{1}\in(0,2). Assim