Mostre que, a e a+2 b tem sempre a mesma paridade, quaisquer que sejam a, b \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{Z} (inteiros) e pede para mostrar que a e a+2b têm sempre a mesma paridade.
Informações relevantes:
  • a é um número inteiro qualquer.
  • b é um número inteiro qualquer.
  • O objetivo é provar que, para quaisquer inteiros a e b, os números a e a+2b são ambos pares ou ambos ímpares (ou seja, têm a mesma paridade).

Passo 2

O que significa “paridade”? Vamos fixar a definição de forma clara e simples:
  • Dizemos que um inteiro n é par se existe k\in\mathbb{Z} tal que n=2k.
  • Dizemos que um inteiro n é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que n=2k+1.
    Estas são definições completas: todo inteiro é ou par (da primeira forma) ou ímpar (da segunda forma), não há outras possibilidades.

Passo 3

Estratégia do argumento (curtinha e direta): mostrar que somar 2b a a não muda a paridade de a. A razão intuitiva é que 2b é sempre um número par (porque 2b=2\cdot b), e adicionar um número par a outro inteiro não altera se esse inteiro era par ou ímpar. Agora vamos provar isso passo a passo com a definição.

Passo 4

Caso 1 — suponha que a seja par. Pela definição de paridade existe k\in\mathbb{Z} tal que
a = 2k.
Então
a+2b = 2k + 2b = 2(k+b).
Como k+b\in\mathbb{Z}, concluímos que a+2b tem a forma 2\cdot(\text{inteiro}), logo a+2b é par. Portanto, se a é par então a+2b também é par — mesma paridade.

Passo 5

Caso 2 — suponha que a seja ímpar. Pela definição de ímpar existe k\in\mathbb{Z} tal que
a = 2k+1.
Então
a+2b = (2k+1) + 2b = 2(k+b) + 1.
Como k+b\in\mathbb{Z}, a+2b tem a forma 2\cdot(\text{inteiro})+1, logo a+2b é ímpar. Portanto, se a é ímpar então a+2b também é ímpar — novamente, mesma paridade.

Passo 6

Juntando os dois casos: quer que a seja par ou ímpar, a+2b tem a mesma paridade de a. Assim a propriedade está provada para todos a,b\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Uma versão alternativa e bem curta (útil na prova, se estiver familiarizado): como 2b é múltiplo de 2, tem-se
a+2b \equiv a \pmod{2},
o que significa que a e a+2b deixam o mesmo resto na divisão por 2, isto é, têm a mesma paridade. Esta é apenas uma forma concisa de dizer o que acabamos de provar com casos.

Passo 8

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Se a=4 (par) e b=7, então a+2b=4+14=18 (par).
  • Se a=5 (ímpar) e b=3, então a+2b=5+6=11 (ímpar).
    Em ambos os exemplos a paridade manteve-se igual, como demonstrado.

Resposta

\forall a,b\in\mathbb{Z},\\ a e \,a+2b\, têm a mesma paridade.

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