Mostre que,
e
tem sempre a mesma paridade, quaisquer que sejam
.
Passo 1
O enunciado dá que
(inteiros) e pede para mostrar que
e
têm sempre a mesma paridade.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
é um número inteiro qualquer. -
é um número inteiro qualquer. - O objetivo é provar que, para quaisquer inteiros
e , os números e são ambos pares ou ambos ímpares (ou seja, têm a mesma paridade).
Passo 2
O que significa “paridade”? Vamos fixar a definição de forma clara e simples:
- Dizemos que um inteiro
é par se existe tal que . - Dizemos que um inteiro
é ímpar se existe tal que .
Estas são definições completas: todo inteiro é ou par (da primeira forma) ou ímpar (da segunda forma), não há outras possibilidades.
Passo 3
Estratégia do argumento (curtinha e direta): mostrar que somar
a
não muda a paridade de
. A razão intuitiva é que
é sempre um número par (porque
), e adicionar um número par a outro inteiro não altera se esse inteiro era par ou ímpar. Agora vamos provar isso passo a passo com a definição.
Passo 4
Caso 1 — suponha que
seja par. Pela definição de paridade existe
tal que
Então
Como
, concluímos que
tem a forma
, logo
é par. Portanto, se
é par então
também é par — mesma paridade.
Passo 5
Caso 2 — suponha que
seja ímpar. Pela definição de ímpar existe
tal que
Então
Como
,
tem a forma
, logo
é ímpar. Portanto, se
é ímpar então
também é ímpar — novamente, mesma paridade.
Passo 6
Juntando os dois casos: quer que
seja par ou ímpar,
tem a mesma paridade de
. Assim a propriedade está provada para todos
.
Passo 7
Uma versão alternativa e bem curta (útil na prova, se estiver familiarizado): como
é múltiplo de
, tem-se
o que significa que
e
deixam o mesmo resto na divisão por
, isto é, têm a mesma paridade. Esta é apenas uma forma concisa de dizer o que acabamos de provar com casos.
Passo 8
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- Se
(par) e , então (par). - Se
(ímpar) e , então (ímpar).
Em ambos os exemplos a paridade manteve-se igual, como demonstrado.