Sejam a, b e c números inteiros. Mostre que:
(a) se a \mid b, então a \mid b c;
(b) se a \mid b e se a \mid c, então a^{2} \mid b c;

Passo 1

O enunciado dá três números inteiros \,a,\;b,\;c\, e pede para mostrar duas afirmações:
(a) Se \;a \mid b\; então \;a \mid b c\;.
(b) Se \;a \mid b\; e \;a \mid c\; então \;a^{2} \mid b c\;.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As variáveis \,a,\;b,\;c\, são inteiros.
  • A notação \,a\mid b\, significa “ a divide b” (a definição serão explicada no passo seguinte).
  • Não há outros dados numéricos; a prova deve ser algebraica e geral para quaisquer inteiros que satisfaçam as hipóteses.

Passo 2

Definição (explicada devagar): dizer que \;a\mid b\; significa que existe um inteiro k tal que
b = a k.
Aqui:
  • \,a\, e \,b\, são inteiros dados;
  • k é um inteiro que “expressa” b como múltiplo de a.
Observações simples e úteis:
  • Produto de inteiros é inteiro: se k e m são inteiros então km é inteiro.
  • A definição vale também para sinais: por exemplo, 3\mid 12 com k=4, e (-3)\mid 12 com k=-4.
  • Em muitos textos exige-se a\neq 0 para falar em “ a\mid b”, porque “ 0\mid b” é uma situação singular (vê-se abaixo). Para as provas abaixo vamos mencionar o caso a=0 separadamente.

Passo 3

Prova de (a) de forma direta e elementar.
Partimos da hipótese \;a\mid b\;. Pela definição existe um inteiro k tal que
b = a k.
Multiplicando ambos os lados por c (que é inteiro) obtemos
b c = (a k) c = a (k c).
Como k e c são inteiros, o produto k c é inteiro. Então escrevemos b c = a\cdot(\text{inteiro}), isto é, pela definição de divisibilidade,
a \mid b c.
Comentário prático: na prova da parte (a) o truque é exatamente substituir b por a k e usar que produto de inteiros é inteiro. Ex.: se a=3,\;b=6,\;c=5 então b=3\cdot2 e b c = 3\cdot(2\cdot5), logo 3\mid 30.

Passo 4

Prova de (b) usando a mesma ideia mas aplicada a ambos b e c.
Hipóteses: \;a\mid b\; e \;a\mid c\;. Pela definição existem inteiros k e l tais que
b = a k,\qquad c = a l.
Multiplicando as duas expressões:
b c = (a k)(a l) = a^{2} (k l).
Como k e l são inteiros, o produto k l é inteiro. Logo b c é um múltiplo de a^{2}, isto é
a^{2} \mid b c.
Exemplo numérico: se a=4,\;b=12,\;c=20 então b=4\cdot3,\;c=4\cdot5 e b c = 4^{2}\cdot(3\cdot5)=16\cdot15, logo 16\mid 240.

Passo 5

Observação sobre o caso a=0 (sempre bom ficar atento em prova):
  • Se a definição usada no curso exige a\neq 0 para falar em \,a\mid b, então as provas acima cobrem todos os casos relevantes.
  • Se, por outro lado, alguém define 0\mid b como “existe inteiro k com b=0\cdot k”, então 0\mid b ocorre apenas quando b=0. Nesse sentido:
    • Para (a): se 0\mid b então b=0, daí b c = 0 e é verdadeiro que 0\mid 0 (mas muitos autores evitam declarar 0\mid 0 como válido porque a divisibilidade por 0 é ambígua).
    • Para (b): se 0\mid b e 0\mid c então b=c=0 e b c=0, então também 0^{2}\mid 0 no sentido formal, mas novamente essa situação é tratada com cuidado em teoria dos números.
      Recomendação prática para a prova: normalmente assume-se a\neq 0; se a questão não esclarecer, vale mencionar brevemente o caso a=0 se houver dúvida.

Passo 6

Dica para a prova na hora da avaliação (resumindo o método): ao ver uma hipótese do tipo \,a\mid b\, substitua b por a\cdot k com k\in\mathbb{Z}. Se houver duas hipóteses \,a\mid b e \,a\mid c substitua ambas e multiplique; isso resolve essa classe de exercícios rapidamente. Você já praticou o raciocínio básico aqui e pode aplicar direto em problemas semelhantes. Força — você chega lá!

Resposta

(a) a \mid b\Rightarrow a \mid b c
(b) a \mid b e a \mid c\Rightarrow a^{2} \mid b c

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