Sejam
e
números inteiros. Mostre que:
(a) se
, então
;
(b) se
e se
, então
;
(a) se
(b) se
Passo 1
O enunciado dá três números inteiros
e pede para mostrar duas afirmações:
(a) Se
então
.
(b) Se
e
então
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As variáveis
são inteiros. - A notação
significa “ divide ” (a definição serão explicada no passo seguinte). - Não há outros dados numéricos; a prova deve ser algebraica e geral para quaisquer inteiros que satisfaçam as hipóteses.
Passo 2
Definição (explicada devagar): dizer que
significa que existe um inteiro
tal que
Aqui:
-
e são inteiros dados; -
é um inteiro que “expressa” como múltiplo de .
Observações simples e úteis:
- Produto de inteiros é inteiro: se
e são inteiros então é inteiro. - A definição vale também para sinais: por exemplo,
com , e com . - Em muitos textos exige-se
para falar em “ ”, porque “ ” é uma situação singular (vê-se abaixo). Para as provas abaixo vamos mencionar o caso separadamente.
Passo 3
Prova de (a) de forma direta e elementar.
Partimos da hipótese
. Pela definição existe um inteiro
tal que
Multiplicando ambos os lados por
(que é inteiro) obtemos
Como
e
são inteiros, o produto
é inteiro. Então escrevemos
, isto é, pela definição de divisibilidade,
Comentário prático: na prova da parte (a) o truque é exatamente substituir
por
e usar que produto de inteiros é inteiro. Ex.: se
então
e
, logo
.
Passo 4
Prova de (b) usando a mesma ideia mas aplicada a ambos
e
.
Hipóteses:
e
. Pela definição existem inteiros
e
tais que
Multiplicando as duas expressões:
Como
e
são inteiros, o produto
é inteiro. Logo
é um múltiplo de
, isto é
Exemplo numérico: se
então
e
, logo
.
Passo 5
Observação sobre o caso
(sempre bom ficar atento em prova):
- Se a definição usada no curso exige
para falar em , então as provas acima cobrem todos os casos relevantes. - Se, por outro lado, alguém define
como “existe inteiro com ”, então ocorre apenas quando . Nesse sentido: - Para (a): se
então , daí e é verdadeiro que (mas muitos autores evitam declarar como válido porque a divisibilidade por é ambígua). - Para (b): se
e então e , então também no sentido formal, mas novamente essa situação é tratada com cuidado em teoria dos números.
Recomendação prática para a prova: normalmente assume-se; se a questão não esclarecer, vale mencionar brevemente o caso se houver dúvida.
- Para (a): se
Passo 6
Dica para a prova na hora da avaliação (resumindo o método): ao ver uma hipótese do tipo
substitua
por
com
. Se houver duas hipóteses
e
substitua ambas e multiplique; isso resolve essa classe de exercícios rapidamente. Você já praticou o raciocínio básico aqui e pode aplicar direto em problemas semelhantes. Força — você chega lá!
Resposta
(a)
(b)
e