Prove ou dê contraexemplos:
se a \mid c e b|c \Longrightarrow a| b ?

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte implicação é verdadeira para inteiros (ou naturais) a,b,c:
\text{Se } a\mid c \text{ e } b\mid c \quad\Longrightarrow\quad a\mid b?
Informações dadas:
  • Sabe-se que a\mid c, isto é, existe um inteiro k tal que c = a k.
  • Sabe-se que b\mid c, isto é, existe um inteiro l tal que c = b l.
    O que se pede: provar que a implicação é verdadeira para todos os inteiros a,b,c, ou fornecer contraexemplos mostrando que ela é falsa.

Passo 2

Definição e interpretação (coisa importante para prova/exemplo).
  • Dizemos x\mid y (lê-se “x divide y”) quando existe um inteiro m tal que y = x m.
  • Essa definição é exata e será usada em forma algébrica: a partir de a\mid c e b\mid c escrevemos
c = a k \quad\text{e}\quad c = b l
para alguns inteiros k e l.

Passo 3

Análise geral: escrevendo as duas equalidades obtemos
a k = c = b l.
Isso dá a igualdade \,a k = b l. Um passo tentador seria dividir ambos os lados por l e tentar concluir b = a\cdot(k/l). Para concluir que a\mid b precisamos que \dfrac{k}{l} seja inteiro. Mas nada garante que l divida k k e l podem ser quaisquer inteiros dependendo de a,b,c. Portanto, a igualdade a k = b l por si só não implica que a divide b. Já temos uma forte indicação de que a implicação geral pode falhar; vamos dar um contraexemplo concreto.

Passo 4

Contraexemplo simples e clássico.
Escolha a=2,\; b=3,\; c=6. Verificações:
  • Como 6 = 2\cdot 3, tem-se 2\mid 6.
  • Como 6 = 3\cdot 2, tem-se 3\mid 6.
    Logo a\mid c e b\mid c são verdadeiros. Agora verificar se 2\mid 3:
  • Procurar inteiro m com 3 = 2m. Não existe inteiro tal m (porque 3/2 não é inteiro), então 2\nmid 3.
    Portanto a implicação falha para esses valores. Concluímos que a afirmação proposta é falsa em geral.

Passo 5

Outro contraexemplo, mostrando que o problema não vem de escolher c pequeno.
Escolha a=2,\; b=3,\; c=0. Verificações:
  • Para qualquer inteiro x tem-se x\mid 0 porque 0 = x\cdot 0. Logo 2\mid 0 e 3\mid 0.
  • Ainda assim 2\nmid 3 como no exemplo anterior.
    Isso reforça que a implicação é manifestamente falsa sem hipóteses adicionais.

Passo 6

Por que a implicação é verdadeira em casos especiais (observação útil para prova em prova):
  • Se além de a\mid c e b\mid c tiver-se alguma informação extra que relacione k e l (por exemplo, que l divide k), então de a k = b l pode-se deduzir b = a\cdot (k/l) inteiro, isto é, a\mid b. Mas essa hipótese extra não está presente no enunciado.
  • Outra situação trivial: se c=b e a\mid c então a\mid b por transitividade (pois a\mid b porque b=c e a\mid c). Ou ainda se a=1 então 1\mid b sempre. Essas são situações particulares, não a regra geral.

Passo 7

Resumo didático e analogia rápida (para fixar):
  • Divisibilidade é transitiva no sentido a\mid b e b\mid c \Rightarrow a\mid c.
  • O sentido inverso que o enunciado sugere (a partir de a\mid c e b\mid c obter a\mid b) não é uma propriedade geral de divisibilidade — os contraexemplos acima provam isso. Pense assim: vários números podem dividir o mesmo número c sem que um deles seja divisor do outro (por exemplo, 2 e 3 dividem 6, mas nenhum divide o outro).

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo: a=2,\; b=3,\; c=6 (tem 2\mid6 e 3\mid6, mas 2\nmid3).

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