Prove ou dê contraexemplos:
se
e
?
se
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte implicação é verdadeira para inteiros (ou naturais)
:
Informações dadas:
- Sabe-se que
, isto é, existe um inteiro tal que . - Sabe-se que
, isto é, existe um inteiro tal que .
O que se pede: provar que a implicação é verdadeira para todos os inteiros, ou fornecer contraexemplos mostrando que ela é falsa.
Passo 2
Definição e interpretação (coisa importante para prova/exemplo).
- Dizemos
(lê-se “x divide y”) quando existe um inteiro tal que . - Essa definição é exata e será usada em forma algébrica: a partir de
e escrevemos
para alguns inteiros
e
.
Passo 3
Análise geral: escrevendo as duas equalidades obtemos
Isso dá a igualdade
. Um passo tentador seria dividir ambos os lados por
e tentar concluir
. Para concluir que
precisamos que
seja inteiro. Mas nada garante que
divida
—
e
podem ser quaisquer inteiros dependendo de
. Portanto, a igualdade
por si só não implica que
divide
. Já temos uma forte indicação de que a implicação geral pode falhar; vamos dar um contraexemplo concreto.
Passo 4
Contraexemplo simples e clássico.
Escolha . Verificações:
Escolha
- Como
, tem-se . - Como
, tem-se .
Logoe são verdadeiros. Agora verificar se : - Procurar inteiro
com . Não existe inteiro tal (porque não é inteiro), então .
Portanto a implicação falha para esses valores. Concluímos que a afirmação proposta é falsa em geral.
Passo 5
Outro contraexemplo, mostrando que o problema não vem de escolher
pequeno.
Escolha . Verificações:
Escolha
- Para qualquer inteiro
tem-se porque . Logo e . - Ainda assim
como no exemplo anterior.
Isso reforça que a implicação é manifestamente falsa sem hipóteses adicionais.
Passo 6
Por que a implicação é verdadeira em casos especiais (observação útil para prova em prova):
- Se além de
e tiver-se alguma informação extra que relacione e (por exemplo, que divide ), então de pode-se deduzir inteiro, isto é, . Mas essa hipótese extra não está presente no enunciado. - Outra situação trivial: se
e então por transitividade (pois porque e ). Ou ainda se então sempre. Essas são situações particulares, não a regra geral.
Passo 7
Resumo didático e analogia rápida (para fixar):
- Divisibilidade é transitiva no sentido
e . - O sentido inverso que o enunciado sugere (a partir de
e obter ) não é uma propriedade geral de divisibilidade — os contraexemplos acima provam isso. Pense assim: vários números podem dividir o mesmo número sem que um deles seja divisor do outro (por exemplo, e dividem , mas nenhum divide o outro).
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo:
(tem
e
, mas
).