O enunciado pede para mostrar dois limites de sequência, dependendo do parâmetro a>0:
– Se a>1, provar que
limntoinftya^nn = infty
– Se 0<a<1, provar que
limntoinftya^nn = 0
O conteúdo é limites de sequências, comparando crescimento exponencial com crescimento polinomial e usando propriedades de logaritmo e o Teorema do Confronto.
Passo 2
Caso a>1. Defina
xn = a^nn,
e considere o logaritmo natural
yn = ln(xn) = lnl(a^nr) - ln(n) = nln(a) - ln(n)
Como ln(a)>0 e sabemos que
limntoinftyln(n)n = 0,
segue que
yn = nln(a)l(1 - tfracln(n)nln(a)r) ;xrightarrow[ntoinfty]; +infty
Como a função exponencial é contínua e estritamente crescente, xn = e^ynto e^+infty = infty. Portanto
limntoinftya^nn = infty
Passo 3
Caso 0<a<1. Observe que para todo n>=1 temos n>=1, logo
0 < a^nn <= a^n
Mas como 0<a<1, a sequência geométrica a^n satisfaz limntoinftya^n = 0. Pelo Teorema do Confronto, fica
limntoinftya^nn = 0
Resposta
Se a>1, então limntoinftya^nn = infty.
Se 0<a<1, então limntoinftya^nn = 0.