Calcule o valor de convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 1n(n+2) (Série Telescópica)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
sumn=1^infty1n(n+2)
O conteúdo principal aqui é série telescópica, que usamos depois de decompor o termo geral em frações parciais.

Passo 2

Vamos fazer a decomposição em frações parciais de 1n(n+2). Procuramos constantes A e B tais que
1n(n+2)=An+Bn+2
Multiplicando ambos os lados por n(n+2) temos
1 = A(n+2)+Bn = (A+B)n + 2A
Igualando coeficientes de n e termo constante, vem
A+B=0, 2A=1 Longrightarrow A=tfrac12,;B=-tfrac12

Passo 3

Substituindo A e B na decomposição, obtemos
1n(n+2) =12l(1n-1n+2r)

Passo 4

Definimos a soma parcial até N:
SN=sumn=1^N1n(n+2) =12sumn=1^Nl(1n-1n+2r)
Ao escrever os termos, há cancelamento em cascata:
SN =12l((tfrac11+tfrac12+tfrac13+cdots+tfrac1N) -(tfrac13+tfrac14+cdots+tfrac1N+2)r) =12l(tfrac11+tfrac12-tfrac1N+1-tfrac1N+2r)

Passo 5

Fazendo Ntoinfty, os termos tfrac1N+1 e tfrac1N+2 vão a zero. Logo
sumn=1^infty1n(n+2) =limNtoinftySN =12l(1+tfrac12r) =34

Resposta

34

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