Mostre que se alpha, beta, gamma in Z, então:
(-alpha)(-beta)=alpha beta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que sempre que α e β são inteiros, vale a igualdade (–α)(–β)=αβ. O conteúdo aqui é a estrutura de anel nos inteiros, usando as propriedades de inverso aditivo e a distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Lembramos que em ,(\mathbb{Z},+,\cdot) cada elemento α tem um inverso aditivo –α tal que α+(–α)=0 e vale a distributividade: x(y+z)=xy+xz e (x+y)z=xz+yz.

Passo 3

Para começar, usamos a distributividade com α e o inverso de β. Como 0=β+(–β), temos:
0=αcdot0=α(β+(-β))=αβ+α(-β)
Assim
α(-β)=-(αβ)

Passo 4

Agora repetimos com o inverso de α e β fixo. De 0=(α+(-α))β, pela distributividade:
0=(α+(-α))β=αβ+(-α)β
Logo
(-α)β=-(αβ)

Passo 5

Finalmente, aplicamos distributividade a (-α) e ao par β,–β. Como 0=β+(-β),
0=(-α)cdot0=(-α)(β+(-β))=(-α)β+(-α)(-β)
Substituindo (-α)β=-(αβ) obtemos
0=-(αβ)+(-α)(-β),
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(-α)(-β)=αβ

Resposta

(-α)(-β)=αβ

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