Mostre que se
, então:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que sempre que α e β são inteiros, vale a igualdade (–α)(–β)=αβ. O conteúdo aqui é a estrutura de anel nos inteiros, usando as propriedades de inverso aditivo e a distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 2
Lembramos que em ,(\mathbb{Z},+,\cdot) cada elemento α tem um inverso aditivo –α tal que α+(–α)=0 e vale a distributividade: x(y+z)=xy+xz e (x+y)z=xz+yz.
Passo 3
Para começar, usamos a distributividade com α e o inverso de β. Como 0=β+(–β), temos:
Assim
Passo 4
Agora repetimos com o inverso de α e β fixo. De 0=(α+(-α))β, pela distributividade:
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Passo 5
Finalmente, aplicamos distributividade a (-α) e ao par β,–β. Como 0=β+(-β),
Substituindo (-α)β=-(αβ) obtemos
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Resposta
(-α)(-β)=αβ