Sejam x, y in Z. Mostre que:
se x<0 e y>0 então x y<0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros x e y tais que x<0 e y>0, o produto xy é negativo. Vamos usar propriedades de ordem em ℤ e a definição de número negativo.

Passo 2

Como x<0, pela definição de número negativo em ℤ existe um inteiro n>0 tal que x = -n. Essa propriedade vem do fato de que todo inteiro negativo pode ser escrito como o oposto de um inteiro positivo.

Passo 3

Sendo n>0 e y>0, e sabendo que o produto de dois inteiros positivos é positivo, concluímos que n·y>0.

Passo 4

Usando a definição de multiplicação por oposto, temos xy = (-n)·y = -(n·y). Como n·y>0, então -(n·y)<0. Portanto, xy<0.

Resposta

xy<0

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