Mostre que se alpha, beta, gamma in Z, então:
(-alpha) beta=alpha beta=alpha(-beta)

Passo 1

Nesse exercício, queremos provar uma propriedade de sinais na multiplicação de inteiros: para quaisquer alpha,beta in Z, as expressões ( -alpha)beta, - (alphabeta) e alpha(-beta) coincidem. Vamos precisar dos axiomas de anel dos inteiros, em particular da existência do inverso aditivo e da distributividade da multiplicação sobre a soma.

Passo 2

Para mostrar que ( -alpha)beta = - (alphabeta), consideramos a soma
( -alpha)beta + (alphabeta)
Usando a distributividade, obtemos
( -alpha)beta + (alphabeta) = [(-alpha) + alpha],beta = 0cdotbeta = 0
Como o inverso aditivo de alphabeta é exatamente o elemento que somado a alphabeta dá zero, concluímos
(-alpha)beta = - (alphabeta)

Passo 3

De modo análogo, para mostrar que alpha(-beta) = - (alphabeta), analisamos
alpha(-beta) + (alphabeta) = alpha[(-beta) + beta] = alphacdot0 = 0
Novamente, isso diz que alpha(-beta) é o inverso aditivo de alphabeta, logo
alpha(-beta) = - (alphabeta)

Passo 4

Tendo mostrado que ambas as expressões ( -alpha)beta e alpha(-beta) são iguais a - (alphabeta), concluímos a igualdade buscada: as três formas coincidem.

Resposta

(-\alpha)\beta = - (\alpha\beta) = \alpha(-\beta)

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