Prove que a adição em é associativa, comutativa, tem como elemento neutro e vale a lei do corte. Prove, também, que dado (a, b) in Z, existe um único (c, d) in Z tal que (a, b)+(c, d)=(0,0). Note que (c, d) é o elemento (b, a).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na construção de ℤ como classes (a,b) de pares de naturais sob a relação (a,b)sim(c,d) se a+d=b+c, a operação de soma definida por
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
é comutativa, associativa, tem (0,0) como elemento neutro, satisfaz a lei do corte (cancelamento) e que cada elemento tem inverso aditivo único (o inverso de (a,b) é (b,a)).
Passo 2
Começamos relembrando as definições:
A relação de equivalência em NtimesN é dada por (a,b)sim(c,d) se e somente se a+d=b+c.
Denotamos por (a,b) a classe de equivalência de (a,b).
Definimos a soma de classes como
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
Com isso em mãos, vamos às propriedades.
Passo 3
Antes de mais nada, mostramos que a soma está bem definida: se (a,b)sim(a',b') e (c,d)sim(c',d'), então
ou seja (a+c,b+d)sim(a'+c',b'+d'). Isso garante que a soma de classes não dependa dos representantes escolhidos.
Passo 4
Para a comutatividade, simplesmente usamos que a soma em N é comutativa:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b)
Passo 5
Na associatividade, fazemos três somas e usamos a associatividade em N:
l((a,b)+(c,d)r)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)
(a,b)+l((c,d)+(e,f)r)=(a+(c+e),b+(d+f))
Como (a+c)+e=a+(c+e) e (b+d)+f=b+(d+f), as duas classes coincidem, provando a associatividade.
Passo 6
Para o elemento neutro, basta observar que
(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b),
e igualmente (0,0)+(a,b)=(a,b). Logo, (0,0) é mesmo o elemento neutro.
Passo 7
A lei do corte (ou cancelamento) diz: se x+z=y+z então x=y. Tomando x=(a,b),y=(a',b') e z=(c,d), temos
(a+c,b+d)=(a'+c,b'+d)
o que implica a+c+b'+d=a'+c+b+d. Reagrupando, obtém-se a+b'=a'+b, logo (a,b)sim(a',b') e portanto x=y.
Passo 8
Para o inverso aditivo, note que
(a,b)+(b,a)=(a+b,b+a)=(0,0)
pela definição de equivalência. Isso mostra a existência. Para a unicidade, se (c,d) satisfizesse
(a,b)+(c,d)=(0,0),
então (a+c,b+d)sim(0,0), isto é a+c=b+d. Mas essa igualdade é exatamente a condição (c,d)sim(b,a), logo (c,d)=(b,a).
Resposta
Assim, provamos que em Z a operação de adição é associativa, comutativa, possui (0,0) como neutro, satisfaz a lei do corte e que todo elemento (a,b) tem inverso aditivo único dado por (b,a).