Prove que para
, temos que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando propriedades de ℤ sob adição, que para quaisquer α, β, γ ∈ ℤ vale a igualdade −α − β = −(α + β). Vamos usar associatividade, comutatividade, existência de inverso aditivo e a unicidade desse inverso.
Passo 2
Sabemos que em (ℤ, +) todo elemento x tem um único inverso aditivo −x tal que x + (−x) = 0.
Passo 3
Vamos mostrar que (−α − β) é inverso aditivo de (α + β). Se conseguirmos (α + β) + (−α − β) = 0, então pelo fato do inverso aditivo ser único teremos −α − β = −(α + β).
Passo 4
Calculemos a soma usando associatividade e comutatividade:
Passo 5
Portanto (−α − β) é o inverso aditivo de (α + β). Como o inverso aditivo de (α + β) é único e se denota por −(α + β), concluímos que −α − β = −(α + β).