Prove que para alpha, beta, gamma in Z, temos que:
-alpha-beta=-(alpha+beta)

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando propriedades de ℤ sob adição, que para quaisquer α, β, γ ∈ ℤ vale a igualdade −α − β = −(α + β). Vamos usar associatividade, comutatividade, existência de inverso aditivo e a unicidade desse inverso.

Passo 2

Sabemos que em (ℤ, +) todo elemento x tem um único inverso aditivo −x tal que x + (−x) = 0.

Passo 3

Vamos mostrar que (−α − β) é inverso aditivo de (α + β). Se conseguirmos (α + β) + (−α − β) = 0, então pelo fato do inverso aditivo ser único teremos −α − β = −(α + β).

Passo 4

Calculemos a soma usando associatividade e comutatividade:
(α + β) + (−α − β) = α + l(β + (−α − β)r) (associatividade) = α + l((β + (−β)) + (−α)r) (comutatividade em β + (−α) e depois associatividade) = α + l(0 + (−α)r) (pois β + (−β)=0) = α + (−α) (identidade neutra) = 0 (pois α + (−α)=0)

Passo 5

Portanto (−α − β) é o inverso aditivo de (α + β). Como o inverso aditivo de (α + β) é único e se denota por −(α + β), concluímos que −α − β = −(α + β).

Resposta

-alpha - beta = -(alpha + beta)

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