Mostre que se , então: e implica alpha gamma <= beta gamma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em Z construído como classes de pares de naturais, a multiplicação é monótona à direita quando o fator é não-negativo. Em outras palavras, dados alpha,beta,gammainZ, provar que alpha<=beta e gamma>=(0,0) implicam alphagamma<=betagamma.
Passo 2
Sejam alpha=(a,b),;beta=(c,d) e gamma=(e,f) com a,b,c,d,e,finN. Pela definição de ordem em Z:
alpha<=beta;Long<=ftrightarrow;a+d<= b+c
e
gamma>=(0,0);Long<=ftrightarrow;e>= f
Pela definição de produto em Z:
alphagamma=(ae+bf,;af+be),
betagamma=(ce+df,;cf+de)
Passo 3
Para concluir, usamos a definição de ordem em Z novamente. Queremos verificar
Como Long<=ftrightarrow;(e-f)(a+d)<=(e-f)(b+c) (pois e-f>=0) e e>= f (pela hipótese a+d<= b+c), multiplicar ambos os lados de alpha<=beta por a+d<= b+c preserva a desigualdade. Logo
e-f
que é exatamente o que precisávamos para concluir (e-f)(a+d)<=(e-f)(b+c) .