Mostre que se alpha, beta, gamma in Z, então:
alpha <= beta e gamma >= (0,0) implica alpha gamma <= beta gamma

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em Z construído como classes de pares de naturais, a multiplicação é monótona à direita quando o fator é não-negativo. Em outras palavras, dados alpha,beta,gammainZ, provar que alpha<=beta e gamma>=(0,0) implicam alphagamma<=betagamma.

Passo 2

Sejam
alpha=(a,b),;beta=(c,d) e gamma=(e,f) com a,b,c,d,e,finN. Pela definição de ordem em Z:
alpha<=beta;Long<=ftrightarrow;a+d<= b+c
e
gamma>=(0,0);Long<=ftrightarrow;e>= f
Pela definição de produto em Z:
alphagamma=(ae+bf,;af+be),
betagamma=(ce+df,;cf+de)

Passo 3

Para concluir, usamos a definição de ordem em Z novamente. Queremos verificar
alphagamma<=betagamma $$
\Longleftrightarrow;(ae+bf)+(cf+de)\le(af+be)+(ce+df).
Long<=ftrightarrow;(ae+bf)+(cf+de)<=(af+be)+(ce+df)
ae+de+bf+cf\le af+df+be+ce
$$
ae+de+bf+cf<= af+df+be+ce
Long<=ftrightarrow;e(a+d)+f(b+c)<= f(a+d)+e(b+c)
Como Long<=ftrightarrow;(e-f)(a+d)<=(e-f)(b+c) (pois e-f>=0) e e>= f (pela hipótese a+d<= b+c), multiplicar ambos os lados de alpha<=beta por a+d<= b+c preserva a desigualdade. Logo
e-f
que é exatamente o que precisávamos para concluir (e-f)(a+d)<=(e-f)(b+c) .

Resposta

alphagamma<=betagamma.

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