Mostre que se alpha, beta, gamma in Z, então:
alpha cdot(beta-gamma)=alpha cdot beta-alpha cdot gamma

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a subtração em Z. Vamos usar a definição de subtração, a distributiva da multiplicação sobre a adição e a relação entre multiplicação por -1 e o inverso aditivo.

Passo 2

Em Z, a subtração é definida como soma do inverso aditivo, isto é, beta - gamma = beta + (-gamma).
Substituindo essa definição no lado esquerdo, temos:
alpha cdot (beta - gamma) = alpha cdot (beta + (-gamma))

Passo 3

Pela propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição em Z,
alpha cdot (beta + (-gamma)) = alpha cdot beta + alpha cdot (-gamma)

Passo 4

Sabemos também que multiplicar por -1 produz o inverso aditivo: alpha cdot (-gamma) = -(alpha cdot gamma). Substituindo,
alpha cdot beta + alpha cdot (-gamma) = alpha cdot beta + (-(alpha cdot gamma)) = alpha cdot beta - alpha cdot gamma

Resposta

alphacdot(beta-gamma)=alphacdotbeta-alphacdotgamma

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