Seja A neq emptyset munido de uma operação *, que tem elemento neutro, então este elemento neutro é único (um elemento n é neutro para * quando n * a=a * n=a, para todo a in A ).

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto não vazio A com uma operação binária * que possui pelo menos um elemento neutro (ou identidade). Queremos mostrar que, se existe um elemento neutro para *, então ele é necessariamente único.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam dois elementos neutros distintos em A, digamos n e m. Isso significa que, para todo a em A, vale:
• n * a = a * n = a
• m * a = a * m = a

Passo 3

Vamos aplicar essas definições ao próprio n e m:
Como m é neutro, substituindo a por n, obtemos
m * n = n
Como n também é neutro, substituindo a por m, obtemos
n * m = m
Mas a operação * é binária em A, então os dois resultados referem-se ao mesmo elemento n * m = m * n. Portanto,
n = n * m = m

Passo 4

Como chegamos a n = m, concluímos que não é possível haver dois elementos neutros diferentes. Logo, o elemento neutro em A é único.

Resposta

O elemento neutro de * em A é único.

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