Seja
munido de uma operação
, que tem elemento neutro, então este elemento neutro é único (um elemento
é neutro para * quando
, para todo
).
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto não vazio A com uma operação binária * que possui pelo menos um elemento neutro (ou identidade). Queremos mostrar que, se existe um elemento neutro para *, então ele é necessariamente único.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existam dois elementos neutros distintos em A, digamos n e m. Isso significa que, para todo a em A, vale:
• n * a = a * n = a
• m * a = a * m = a
Passo 3
Vamos aplicar essas definições ao próprio n e m:
Como m é neutro, substituindo a por n, obtemos
Como n também é neutro, substituindo a por m, obtemos
Mas a operação * é binária em A, então os dois resultados referem-se ao mesmo elemento n * m = m * n. Portanto,
Passo 4
Como chegamos a n = m, concluímos que não é possível haver dois elementos neutros diferentes. Logo, o elemento neutro em A é único.
Resposta
O elemento neutro de * em A é único.