y^prime prime+y=f(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1;
f(t)= 1, & 0 <= t<3 pi 0, & 3 pi <= t

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = f(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Aqui, $ f(t) $ é uma função definida por partes:
y'' + y = f(t)
Vamos usar o método das equações diferenciais com condições iniciais e considerar a função forçante $ f(t) $ que muda de valor em $ t = 3\pi $.

Passo 2

Primeiro, encontramos a solução geral da equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. A equação característica é $ r^2 + 1 = 0 $, com raízes $ r = \pm i $. Então, a solução geral da homogênea é:
y'' + y = 0
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + y = f(t) $. Como $ f(t) $ é uma função constante (1) para $ 0 \leq t < 3\pi $, tentamos uma solução particular da forma:
yp(t)
Derivando, temos $ y_p’(t) = 0 $ e $ y_p’’(t) = 0 $. Substituindo na equação:
y'' + y = f(t)
Portanto, a solução particular para $ 0 \leq t < 3\pi $ é:
f(t)

Passo 4

A solução geral para $ 0 \leq t < 3\pi $ é a soma da solução homogênea e da particular:
0 <= t < 3pi
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.

Passo 5

Aplicamos $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
Em seguida, aplicamos $ y’(0) = 1 $. Derivando $ y(t) $:
0 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 1 implies 0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 1 implies C1 = -1
Então, em $ t = 0 $:
y'(0) = 1

Passo 6

Com $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = 1 $, a solução para $ 0 \leq t < 3\pi $ é:
C1 = -1

Passo 7

Para $ t \geq 3\pi $, a função $ f(t) = 0 $, então a equação diferencial fica homogênea:
t >= 3pi
A solução geral será novamente da forma:
f(t) = 0
Precisamos determinar $ D_1 $ e $ D_2 $ usando as condições de continuidade em $ t = 3\pi $.

Passo 8

Primeiro, calculamos $ y(3\pi) $ e $ y’(3\pi) $ usando a solução para $ t < 3\pi $:
y(3pi)
y'(3pi)
Esses valores devem coincidir com $ y(3\pi) $ e $ y’(3\pi) $ da solução para $ t \geq 3\pi $.

Passo 9

Aplicamos as condições de continuidade:
D1 cos(3pi) + D2 sin(3pi) = 2 implies D1 cdot (-1) + D2 cdot 0 = 2 implies D1 = -2
-D1 sin(3pi) + D2 cos(3pi) = -1 implies -(-2) cdot 0 + D2 cdot (-1) = -1 implies -D2 = -1 implies D2 = 1

Passo 10

Com $ D_1 = -2 $ e $ D_2 = 1 $, a solução para $ t \geq 3\pi $ é:
D1 = -2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = -cos(t) + sin(t) + 1, & 0 <= t < 3pi -2 cos(t) + sin(t), & 3pi <= t < infty

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