;
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = f(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Aqui, $ f(t) $ é uma função definida por partes:
Vamos usar o método das equações diferenciais com condições iniciais e considerar a função forçante $ f(t) $ que muda de valor em $ t = 3\pi $.
Passo 2
Primeiro, encontramos a solução geral da equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. A equação característica é $ r^2 + 1 = 0 $, com raízes $ r = \pm i $. Então, a solução geral da homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + y = f(t) $. Como $ f(t) $ é uma função constante (1) para $ 0 \leq t < 3\pi $, tentamos uma solução particular da forma:
Derivando, temos $ y_p’(t) = 0 $ e $ y_p’’(t) = 0 $. Substituindo na equação:
Portanto, a solução particular para $ 0 \leq t < 3\pi $ é:
Passo 4
A solução geral para $ 0 \leq t < 3\pi $ é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Passo 5
Aplicamos $ y(0) = 0 $:
Em seguida, aplicamos $ y’(0) = 1 $. Derivando $ y(t) $:
Então, em $ t = 0 $:
Passo 6
Com $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = 1 $, a solução para $ 0 \leq t < 3\pi $ é:
Passo 7
Para $ t \geq 3\pi $, a função $ f(t) = 0 $, então a equação diferencial fica homogênea:
A solução geral será novamente da forma:
Precisamos determinar $ D_1 $ e $ D_2 $ usando as condições de continuidade em $ t = 3\pi $.
Passo 8
Primeiro, calculamos $ y(3\pi) $ e $ y’(3\pi) $ usando a solução para $ t < 3\pi $:
Esses valores devem coincidir com $ y(3\pi) $ e $ y’(3\pi) $ da solução para $ t \geq 3\pi $.
Passo 9
Aplicamos as condições de continuidade:
Passo 10
Com $ D_1 = -2 $ e $ D_2 = 1 $, a solução para $ t \geq 3\pi $ é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: