1. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores v1=2 imath-jmath, v2=6 imath+m jmath-2 k e v3=-4 imath+k seja igual a 10 . Resp: 6 ou -4 .
  2. Os vetores u=(2,-1,-3), v=(-1,1,-4) e w=(m+1, m,-1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular o valor de m. Resp: 2 ou -8 / 3.
  3. Mostre que se alpha e beta são planos que contêm os vetores L.I. u, v e w, p respectivamente, então o vetor (u times v) times(w times p) é um vetor diretor da reta r de interseção entre alpha e beta. Que acontece se alpha e beta não se intersectam?

Passo 1

Neste exercício queremos achar o valor de m tal que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
v1=(2,-1,0), v2=(6,m,-2) e v3=(-4,0,1) seja igual a 10.
O volume de um paralelepípedo dado por três vetores é o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas são esses vetores (produto misto).

Passo 2

Escrevemos o determinante
D(m) ;=;det 2 & 6 & -4 -1& m & 0 0 & -2 & 1
e calculamos por desenvolvimento na primeira linha:
D(m) =2cdotdetm&0-2&1 -6cdotdet-1&00&1 +(-4)cdotdet-1&m0&-2

Passo 3

Calculando cada menor:
detm&0-2&1=mcdot1-0cdot(-2)=m,
det-1&00&1=(-1)cdot1-0cdot0=-1,
det-1&m0&-2=(-1)cdot(-2)-mcdot0=2
Logo
D(m)=2cdot m -6cdot(-1) +(-4)cdot2 =2m +6 -8 =2m -2
O volume é lvert D(m)rvert, e queremos lvert2m-2rvert=10. Assim
2m-2=pm10 Longrightarrow 2m=2pm10 Longrightarrow m=6 ou m=-4

Passo 4

Agora queremos m tal que o volume do paralelepípedo definido pelos vetores
vec u=(2,-1,-3), vec v=(-1,1,-4) e vec w=(m+1,m,-1) seja 42.
De novo o volume é l|det[vec u,vec v,vec w]r|.

Passo 5

Montamos o determinante
D(m)=det 2 & -1 & m+1 -1 & 1 & m -3 & -4 & -1
e calculamos via expansão na primeira linha:
D(m) =2det1&m-4&-1 -(-1)det-1&m-3&-1 +(m+1)det-1&1-3&-4

Passo 6

Os menores são
det1&m-4&-1 =1cdot(-1)-mcdot(-4)=-1+4m,
det-1&m-3&-1 =(-1)cdot(-1)-mcdot(-3)=1+3m,
det-1&1-3&-4 =(-1)cdot(-4)-1cdot(-3)=4+3=7
Logo
D(m)=2(-1+4m)+1(1+3m)+(m+1)cdot7 =-2+8m+1+3m+7m+7 =18m+6
Queremos lvert18m+6rvert=42, então
18m+6=pm42 Longrightarrow 18m=36 ou 18m=-48 Longrightarrow m=2 ou m=-tfrac83

Passo 7

Temos dois planos alpha e beta.
  • alpha contém dois vetores linearmente independentes vec u e vec v.
  • beta contém dois vetores linearmente independentes vec w e vec p.
    Queremos mostrar que
    (vec utimesvec v)times(vec wtimesvec p)
    é um vetor diretor da reta de interseção r=alphacapbeta.

Passo 8

Em cada plano, o vetor normal é o produto vetorial dos diretores:
vec nalpha=vec utimesvec v, vec nbeta=vec wtimesvec p
A reta de interseção de dois planos tem direção paralela a vec nalphatimesvec nbeta.

Passo 9

Por propriedades do produto vetorial (identidade de Lagrange),
vec nalphatimesvec nbeta =(vec utimesvec v)times(vec wtimesvec p)
Logo esse é um vetor paralelo à direção de r, ou seja, um vetor diretor de r.

Passo 10

Se alpha e beta não se intersectam (são paralelos distintos), então vec nalpha e vec nbeta são paralelos, logo
vec nalphatimesvec nbeta=vec0.
Isso reflete o fato de que não há reta de interseção bem definida entre planos paralelos distintos.

Resposta

O vetor (vec utimesvec v)times(vec wtimesvec p) é um vetor diretor da reta alphacapbeta. Se os planos não se intersectam, o resultado é o vetor nulo.

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