Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores e v3=-4 imath+k seja igual a 10 . Resp: 6 ou -4 .
Os vetores u=(2,-1,-3), v=(-1,1,-4) e w=(m+1, m,-1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular o valor de m. Resp: 2 ou -8 / 3.
Mostre que se alpha e beta são planos que contêm os vetores L.I. u, v e w, p respectivamente, então o vetor (u times v) times(w times p) é um vetor diretor da reta r de interseção entre alpha e beta. Que acontece se alpha e beta não se intersectam?
Passo 1
Neste exercício queremos achar o valor de m tal que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores v1=(2,-1,0), v2=(6,m,-2) e v3=(-4,0,1) seja igual a 10.
O volume de um paralelepípedo dado por três vetores é o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas são esses vetores (produto misto).
Passo 2
Escrevemos o determinante
D(m) ;=;det 2 & 6 & -4 -1& m & 0 0 & -2 & 1
e calculamos por desenvolvimento na primeira linha:
D(m)=2cdot m -6cdot(-1) +(-4)cdot2 =2m +6 -8 =2m -2
O volume é lvert D(m)rvert, e queremos lvert2m-2rvert=10. Assim
2m-2=pm10 Longrightarrow 2m=2pm10 Longrightarrow m=6 ou m=-4
Passo 4
Agora queremos m tal que o volume do paralelepípedo definido pelos vetores vec u=(2,-1,-3), vec v=(-1,1,-4) e vec w=(m+1,m,-1) seja 42.
De novo o volume é l|det[vec u,vec v,vec w]r|.
18m+6=pm42 Longrightarrow 18m=36 ou 18m=-48 Longrightarrow m=2 ou m=-tfrac83
Passo 7
Temos dois planos alpha e beta.
alpha contém dois vetores linearmente independentes vec u e vec v.
beta contém dois vetores linearmente independentes vec w e vec p.
Queremos mostrar que (vec utimesvec v)times(vec wtimesvec p)
é um vetor diretor da reta de interseção r=alphacapbeta.
Passo 8
Em cada plano, o vetor normal é o produto vetorial dos diretores:
vec nalpha=vec utimesvec v, vec nbeta=vec wtimesvec p
A reta de interseção de dois planos tem direção paralela a vec nalphatimesvec nbeta.
Passo 9
Por propriedades do produto vetorial (identidade de Lagrange),
Logo esse é um vetor paralelo à direção de r, ou seja, um vetor diretor de r.
Passo 10
Se alpha e beta não se intersectam (são paralelos distintos), então vec nalpha e vec nbeta são paralelos, logo vec nalphatimesvec nbeta=vec0.
Isso reflete o fato de que não há reta de interseção bem definida entre planos paralelos distintos.
Resposta
O vetor (vec utimesvec v)times(vec wtimesvec p) é um vetor diretor da reta alphacapbeta. Se os planos não se intersectam, o resultado é o vetor nulo.