Mostre que
e
são soluções linearmente independentes da equação diferencial y’’+by’+cy=0, c e b constantes e
, sendo
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
e
são constantes e o discriminante da equação característica é negativo:
Definimos
e queremos mostrar que as funções
são soluções da EDO e são linearmente independentes.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Como
, as raízes são complexas conjugadas
Da teoria de EDOs, a solução geral complexa é
Como a equação é real, suas partes real e imaginária também são soluções reais.
Passo 3
De
extraímos
Portanto
e
satisfazem
por serem combinações de soluções de uma EDO linear homogênea.
Passo 4
Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano
Deixando
u = x - x0 , temos
Logo
Como
beta=tfracraiz4c-b^22neq 0 e
e^2alpha(x-x0)neq 0 , segue
W(x)neq 0 .]
Resposta
As funções
y1 e
y2 são soluções da EDO dada e são linearmente independentes porque seu Wronskiano é não nulo.