Mostre que y1(x)=e^alpha(x-x0) cos beta(x-x0) e y2(x)=e^alpha(x-x0) sen beta(x-x0) são soluções linearmente independentes da equação diferencial y’’+by’+cy=0, c e b constantes e b^2-4 c<0, sendo alpha=-b2, beta=raiz4 c-b^22.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + b,y' + c,y = 0,
onde b e c são constantes e o discriminante da equação característica é negativo:
De<a = b^2 - 4c < 0
Definimos
alpha = -b2, beta = raiz4c - b^22,
e queremos mostrar que as funções
y1(x)=e^alpha(x-x0)cosl(beta(x-x0)r), y2(x)=e^alpha(x-x0)sinl(beta(x-x0)r)
são soluções da EDO e são linearmente independentes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
lambda^2 + b,lambda + c = 0
Como De<a=b^2-4c<0, as raízes são complexas conjugadas
lambda1,2 = -b2 pm i,raiz4c - b^22 = alpha pm i,beta
Da teoria de EDOs, a solução geral complexa é
yc(x) = e^lambda (x-x0) = e^alpha(x-x0)e^i,beta(x-x0)
Como a equação é real, suas partes real e imaginária também são soluções reais.

Passo 3

De yc = e^alpha(x-x0)(cosbeta(x-x0) + isinbeta(x-x0)) extraímos
y1(x) = Re(yc) = e^alpha(x-x0)cosl(beta(x-x0)r),
y2(x) = Im(yc) = e^alpha(x-x0)sinl(beta(x-x0)r)
Portanto y1 e y2 satisfazem
y'' + b,y' + c,y = 0
por serem combinações de soluções de uma EDO linear homogênea.

Passo 4

Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano
W(x) = y1 & y2 [6pt] y1' & y2'
Deixando u = x - x0, temos
y1 = e^alpha ucos(beta u), y2 = e^alpha usin(beta u),
y1' = e^alpha ul(alphacos(beta u)-betasin(beta u)r), y2' = e^alpha ul(alphasin(beta u)+betacos(beta u)r)
Logo
W(x) = e^alpha ucos(beta u),l[e^alpha u(alphasin(beta u)+betacos(beta u))r] - e^alpha usin(beta u),l[e^alpha u(alphacos(beta u)-betasin(beta u))r],
W(x) = e^2alpha ul[betacos^2(beta u)+betasin^2(beta u)r] = beta,e^2alpha(x-x0)
Como beta=tfracraiz4c-b^22neq 0 e e^2alpha(x-x0)neq 0, segue W(x)neq 0.]

Resposta

As funções y1 e y2 são soluções da EDO dada e são linearmente independentes porque seu Wronskiano é não nulo.

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