Dada uma solução y1(x) da equação, determine a solução geral de:
y^prime prime-4 x y^prime+(4 x^2-2) y=0 , y1(x)=e^x^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' - 4x,y' + (4x^2 - 2),y = 0
e informa que uma solução particular é y1(x)=e^x^2. O conteúdo é redução de ordem para encontrar a segunda solução linearmente independente e, assim, obter a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
onde, comparando, temos
p(x) = -4x, q(x) = 4x^2 - 2
Pela teoria de redução de ordem, a segunda solução pode ser escrita como
y2(x) = y1(x),integral e^-integral p(x),dx[y1(x)]^2,dx

Passo 3

Calculamos primeiro
integral p(x),dx = integral (-4x),dx = -2x^2,
logo
e^-integral p(x),dx = e^2x^2
Então o integrando fica
e^-integral p(x),dx[y1(x)]^2 = e^2x^2l(e^x^2r)^2 = 1,
e portanto
y2(x) = e^x^2,integral 1,dx = x,e^x^2

Passo 4

Como y1 e y2 são linearmente independentes, a solução geral é
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x) = C1,e^x^2 + C2,x,e^x^2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1,e^x^2 + C2,x,e^x^2

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