Encontre uma solução particular explícita para os problemas de valor inicial
  1. 2 y d yd x=xraizx^2-16 ; y(5)=2
  2. d yd x=2 x y^2+3 x^2 y^2 ; y(1)=-1

Passo 1

O enunciado dá dois problemas de valor inicial cujas equações são separáveis. O conteúdo aqui é separação de variáveis para EDOs da forma
dydx=f(x,y)=g(x),h(y)
Vamos, em cada caso, repartir os termos em y e x, integrar de ambos os lados e então usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para o primeiro problema
2,y,dydx=xraizx^2-16, y(5)=2,
separamos em y e x:
2,y,dy=xraizx^2-16,dx
Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo
integral 2,y,dy = y^2
No lado direito fazemos a substituição u=x^2-16, logo du=2x,dx e
integral xraizx^2-16,dx =12integral duraizu =raizu =raizx^2-16
Assim obtemos a relação geral
y^2=raizx^2-16+C

Passo 3

Aplicando a condição y(5)=2,
2^2=raiz5^2-16+CLongrightarrow 4=3+CLongrightarrow C=1
Logo
y^2=raizx^2-16+1 Longrightarrow y=pmraizraizx^2-16+1
Como em x=5 temos y=2>0, escolhemos o ramo positivo:
boxedy(x)=raizraizx^2-16+1, x>4

Passo 4

Para o segundo problema
dydx=2x,y^2+3x^2,y^2, y(1)=-1,
fatoramos y^2:
dydx=y^2(2x+3x^2) Longrightarrow y^-2,dy=(2x+3x^2),dx
Integramos:
integral y^-2,dy = -,1y, integral(2x+3x^2),dx = x^2+x^3
Portanto
-,1y=x^2+x^3+C

Passo 5

Usando y(1)=-1
-,1-1=1^2+1^3+C Longrightarrow 1=2+C Longrightarrow C=-1
Logo
-,1y=x^2+x^3-1 Longrightarrow 1y=1 - x^2-x^3 Longrightarrow y=11 - x^2-x^3

Resposta

A solução particular de cada problema é:
  1. y(x)=raizraizx^2-16+1, válida para x>4.
  2. y(x)=dfrac11 - x^2-x^3.

Exercícios relacionados