Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como integral e^x^2 d x não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
d yd x=e^x^2 y^2, y(2)=1
A equação diferencial separa se dividirmos por y^2 e multiplicarmos por d x. Integramos a equação de separação de x=2 para x=x1 e encontramos
integralx=2^x=x1 e^x^2 d x & =integralx=2^x=x1 d yy^2 & =-1y|x=2 ^x=x1 & =-1y(x1)+1y(2)
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1
Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c).
d y / d x=e^x^2, y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx=e^x^2, y(0)=0
Trata-se de uma equação de primeira ordem em que o lado direito depende só de x. Portanto, basta integrar em x para obter y(x).

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral dydx,dx = integral e^x^2,dx
Isso leva a
y(x) = integral e^x^2,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=0. Se definirmos a integral indefinida com limite variável,
y(x)=integral0^xe^t^2,dt + C,
então em x=0 temos
y(0)=integral0^0e^t^2,dt + C = 0 + C =0 Longrightarrow C=0
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y(x)=integral0^xe^t^2,dt

Resposta

y(x)=integral0^xe^t^2,dt

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