Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
A equação diferencial separa se dividirmos por e multiplicarmos por . Integramos a equação de separação de para e encontramos
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1
Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c). d y / d x=e^x^2, y(0)=0
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx=e^x^2, y(0)=0
Trata-se de uma equação de primeira ordem em que o lado direito depende só de x. Portanto, basta integrar em x para obter y(x).
Passo 2
Integramos ambos os lados em relação a x:
integral dydx,dx = integral e^x^2,dx
Isso leva a
y(x) = integral e^x^2,dx + C,
onde C é a constante de integração.
Passo 3
Usamos a condição inicial y(0)=0. Se definirmos a integral indefinida com limite variável,
y(x)=integral0^xe^t^2,dt + C,
então em x=0 temos
y(0)=integral0^0e^t^2,dt + C = 0 + C =0 Longrightarrow C=0