O movimento de uma partícula que se desloca no plano é definida pelo vector posição:
. Determine:a)Aceleração da partícula; b) As componentes tangencial e normal da aceleração e o raio da curvatura da trajectória no instante
.
Passo 1
Beleza, aqui vai o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido:
Temos a partícula com vetor-posição
Enunciado resumido:
Temos a partícula com vetor-posição
a) A gente quer a aceleração
b) No instante
Matéria envolvida:
- Derivada de vetor (cinemática vetorial).
- Definição de velocidade escalar
. - Componentes tangencial e normal da aceleração:$$a_t=\frac{d,|\vec v|}{dt}=\frac{\vec v\cdot\vec a}{|\vec v|},\quada_n=\sqrt{|\vec a|^2 - a_t^2}.
\rho=\frac{v^2}{a_n} \quad(ou)\quad \rho=\frac{|\vec v|^3}{|\vec v\times\vec a|}.$$
Passo 2
Calcular velocidade e aceleração vetorial:
- Velocidade:
- Aceleração:
Passo 3
Agora, velocidade escalar
e componente tangencial
:
- Módulo de
:$$v(t)=\sqrt{(4t)2+42}=4\sqrt{t^2+1}. a_t=\frac{d,v}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(4\sqrt{t^2+1}\bigr)
=4\cdot\frac{1}{2}(t2+1){-1/2}\cdot2t=\frac{4t}{\sqrt{t^2+1}}.a_t(2)=\frac{4\cdot2}{\sqrt{2^2+1}} =\frac{8}{\sqrt5}.$$
Passo 4
Componente normal
usando
1)
2) Então
$$a_n(t)=\sqrt{42-\Bigl(\frac{4t}{\sqrt{t2+1}}\Bigr)^2}
=\sqrt{16-\frac{16t^2}{t^2+1}}
=4\sqrt{\frac{t^2+1 - t^2}{t^2+1}}
=\frac{4}{\sqrt{t^2+1}}.$$
No instante
s:
$$a_n(2)=\frac{4}{\sqrt{2^2+1}}
=\frac{4}{\sqrt5}.$$
Passo 5
Raio de curvatura
via
:
- Em
s, . - Logo
Resposta
a) A aceleração é
b) No instante
- Componente tangencial:
- Componente normal:
- Raio de curvatura: