O movimento de uma partícula que se desloca no plano é definida pelo vector posição: r=2 t^2 i+4 t j. Determine:a)Aceleração da partícula; b) As componentes tangencial e normal da aceleração e o raio da curvatura da trajectória no instante t=2 s.

Passo 1

Beleza, aqui vai o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido:
Temos a partícula com vetor-posição
vec r(t)=2t^2,vec i+4t,vec j
a) A gente quer a aceleração vec a(t).
b) No instante t=2,s, acha as componentes tangencial at e normal an da aceleração, e o raio de curvatura rho.
Matéria envolvida:
  • Derivada de vetor (cinemática vetorial).
  • Definição de velocidade escalar v=|vec v|.
  • Componentes tangencial e normal da aceleração:$$a_t=\frac{d,|\vec v|}{dt}=\frac{\vec v\cdot\vec a}{|\vec v|},\quada_n=\sqrt{|\vec a|^2 - a_t^2}. at=d,|vec v|dt=vec vcdotvec a|vec v|, an=raiz|vec a|^2 - at^2\rho=\frac{v^2}{a_n} \quad(ou)\quad \rho=\frac{|\vec v|^3}{|\vec v\times\vec a|}.$$

Passo 2

Calcular velocidade e aceleração vetorial:
  1. Velocidade: vec v(t)=dvec rdt =ddt(2t^2),vec i+ddt(4t),vec j =4t,vec i+4,vec j
  2. Aceleração: vec a(t)=dvec vdt =ddt(4t),vec i+ddt(4),vec j =4,vec i+0,vec j =4,vec i

Passo 3

Agora, velocidade escalar v=|vec v| e componente tangencial at:
  1. Módulo de vec v:$$v(t)=\sqrt{(4t)2+42}=4\sqrt{t^2+1}. v(t)=raiz(4t)^2+4^2 =4raizt^2+1a_t=\frac{d,v}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(4\sqrt{t^2+1}\bigr)
    =4\cdot\frac{1}{2}(t2+1){-1/2}\cdot2t=\frac{4t}{\sqrt{t^2+1}}. at=d,vdt =ddtl(4raizt^2+1r) =4cdot12(t^2+1)^-1/2cdot2t =4traizt^2+1a_t(2)=\frac{4\cdot2}{\sqrt{2^2+1}}
         =\frac{8}{\sqrt5}.$$

Passo 4

Componente normal an usando
an=raiz|vec a|^2 - at^2
1) |vec a|=|4,vec i|=4.
2) Então
$$a_n(t)=\sqrt{42-\Bigl(\frac{4t}{\sqrt{t2+1}}\Bigr)^2}
      =\sqrt{16-\frac{16t^2}{t^2+1}}
      =4\sqrt{\frac{t^2+1 - t^2}{t^2+1}}
      =\frac{4}{\sqrt{t^2+1}}.$$  
No instante an(t)=raiz4^2-l(4traizt^2+1r)^2 =raiz16-16t^2t^2+1 =4raizt^2+1 - t^2t^2+1 =4raizt^2+1s:
$$a_n(2)=\frac{4}{\sqrt{2^2+1}}
       =\frac{4}{\sqrt5}.$$

Passo 5

Raio de curvatura rho via rho=v^2/an:
  1. Em t=2,s, v(2)=4raiz2^2+1=4raiz5,.
  2. Logo rho=v^2an =(4raiz5)^24/raiz5 =804/raiz5 =20raiz5 (unidades de comprimento)

Resposta

a) A aceleração é
vec a=4,vec i
b) No instante t=2,s:
- Componente tangencial: at= 8raiz5.
- Componente normal: an= 4raiz5.
- Raio de curvatura: rho=20raiz5,.

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