6 Mostre que, se uma mediana de um triângulo não é perpendicular ao lado correspondente, então os comprimentos dos outros dois lados do triângulo são desiguais.
Passo 1
Temos um triângulo
e a mediana
, onde
é o ponto médio de
. O que queremos mostrar é que, se
não é perpendicular a
, então os lados
e
não podem ser iguais. Vamos usar a ideia de prova por contrapositiva e congruência de triângulos.
Passo 2
Em vez de provar diretamente “se
não é perpendicular a
, então
”, faremos a contrapositiva: “se
, então
é perpendicular a
”. Isso é logicamente equivalente e costuma ser mais simples.
Passo 3
Suponha que
. Então o triângulo
é isósceles com base
. Como
é o ponto médio de
, temos
Passo 4
Considere os triângulos
e
. Eles têm
Pelo critério Lado–Lado–Lado, concluímos que
. Então
Passo 5
Os ângulos
e
são suplementares porque somados formam um ângulo raso em
. Como são iguais e somam
, cada um vale
. Logo
Passo 6
Provamos a contrapositiva: se
então
é perpendicular a
. Portanto, a afirmação original segue imediatamente: se
não é perpendicular a
, então
.
Resposta
Os comprimentos dos lados
e
são diferentes.