6 Mostre que, se uma mediana de um triângulo não é perpendicular ao lado correspondente, então os comprimentos dos outros dois lados do triângulo são desiguais.

Passo 1

Temos um triângulo ABC e a mediana AM, onde M é o ponto médio de BC. O que queremos mostrar é que, se AM não é perpendicular a BC, então os lados AB e AC não podem ser iguais. Vamos usar a ideia de prova por contrapositiva e congruência de triângulos.

Passo 2

Em vez de provar diretamente “se AM não é perpendicular a BC, então AB neq AC”, faremos a contrapositiva: “se AB = AC, então AM é perpendicular a BC”. Isso é logicamente equivalente e costuma ser mais simples.

Passo 3

Suponha que AB = AC. Então o triângulo ABC é isósceles com base BC. Como M é o ponto médio de BC, temos
BM = CM

Passo 4

Considere os triângulos ABM e ACM. Eles têm
AB = AC, BM = CM, AM = AM
Pelo critério Lado–Lado–Lado, concluímos que triang<= ABMcongtriang<= ACM. Então
ang<= BMA = ang<= AMC

Passo 5

Os ângulos ang<= BMA e ang<= AMC são suplementares porque somados formam um ângulo raso em BC. Como são iguais e somam 180^circ, cada um vale 90^circ. Logo
AM perp BC

Passo 6

Provamos a contrapositiva: se AB = AC então AM é perpendicular a BC. Portanto, a afirmação original segue imediatamente: se AM não é perpendicular a BC, então AB neq AC.

Resposta

Os comprimentos dos lados AB e AC são diferentes.

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