Encontre a altura do triângulo isósceles de menor área que pode circunscrever um círculo de raio
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) NRA
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) NRA
Passo 1
O enunciado pede a altura
do triângulo isósceles de menor área que circunscreve um círculo de raio
. O conteúdo aqui envolve a relação entre área
, semiperímetro
e raio inscrito
num triângulo
além de usar geometria de triângulo isósceles para expressar
e
em função de um parâmetro de forma (o meio ângulo do vértice).
Passo 2
Vamos parametrizar pela metade do ângulo do vértice, que chamamos de
. Se a altura é
, temos junto à base:
onde
é a base e
cada lado igual. O semiperímetro é
A área em função de
é
Como o raio inscrito vale
, impomos
:
Dessa expressão isolamos
Passo 3
Agora expressamos a área em termos de
e
. Usando
em
vemos que
Para encontrar o triângulo de menor área, basta minimizar
no intervalo
.
Passo 4
Derivando
e igualando a zero (ou fazendo a conta direta), chega-se à condição
isto é,
. Isso significa que o triângulo ótimo é na verdade equilátero (ângulo do vértice
).
Passo 5
Por fim, colocando
na fórmula