Encontre a altura do triângulo isósceles de menor área que pode circunscrever um círculo de raio R.
(A) 2 R
(B) 3 R
(C) 4 R
(D) 5 R
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede a altura h do triângulo isósceles de menor área que circunscreve um círculo de raio R. O conteúdo aqui envolve a relação entre área A, semiperímetro s e raio inscrito r num triângulo
A = s,r,
além de usar geometria de triângulo isósceles para expressar A e s em função de um parâmetro de forma (o meio ângulo do vértice).

Passo 2

Vamos parametrizar pela metade do ângulo do vértice, que chamamos de phi. Se a altura é h, temos junto à base:
b2 = htanphi,
ell = hcosphi,
onde b é a base e ell cada lado igual. O semiperímetro é
s = b + 2ell2 = 2htanphi + 2,(h/cosphi)2 = hl(tanphi + 1cosphir) = h,(1+sinphi)cosphi
A área em função de h,phi é
A = b,h2 = 2htanphicdot h2 = h^2tanphi
Como o raio inscrito vale r=A/s, impomos r=R:
R = h^2tanphi,h,(1+sinphi)/cosphi, = h,sinphi1+sinphi
Dessa expressão isolamos
h = R;1+sinphisinphi = Rl(cscphi + 1r)

Passo 3

Agora expressamos a área em termos de phi e R. Usando h = R(cscphi +1) em
A = h^2tanphi
vemos que
A = R^2,(cscphi + 1)^2,tanphi
Para encontrar o triângulo de menor área, basta minimizar
f(phi) = (cscphi + 1)^2,tanphi
no intervalo 0<phi<tfracpi2.

Passo 4

Derivando f(phi) e igualando a zero (ou fazendo a conta direta), chega-se à condição
sinphi = tfrac12,
isto é, phi = 30^circ. Isso significa que o triângulo ótimo é na verdade equilátero (ângulo do vértice 2phi=60^circ).

Passo 5

Por fim, colocando sinphi=tfrac12 na fórmula
h = Rl(cscphi + 1r) = Rl(2 + 1r) = 3R

Resposta

3R (alternativa B)

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