Mostre que
é invertível se, e somente se,
é invertível.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência entre duas afirmações sobre uma matriz quadrada
de ordem
:
.
é invertível.
.
é invertível.
O conteúdo principal é Álgebra Linear: definimos invertibilidade, usamos propriedades de transposta e núcleo (kernel).
O conteúdo principal é Álgebra Linear: definimos invertibilidade, usamos propriedades de transposta e núcleo (kernel).
Passo 2
Prova da implicação “
”: suponha que
é invertível. Então existe
tal que
Como
é a inversa de
, temos que
também é invertível. Logo, produto de matrizes invertíveis é invertível, e
é produto de
por
. Portanto
é invertível com inversa
Passo 3
Prova da implicação “
”: suponha que
é invertível. Vamos mostrar que
. Se
, então
. Multiplicando à esquerda por
obtém-se
Como
é invertível, sua forma quadrática
só é zero quando
. Logo
, o que significa que
é injetora. Uma matriz quadrada injetora é invertível; assim
é invertível.
Resposta
Mostramos que
é invertível se, e somente se,
é invertível.