Mostre que
An times n é invertível se, e somente se, A^top A é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência entre duas afirmações sobre uma matriz quadrada A de ordem n:
1. A é invertível.
2. A^topA é invertível.
O conteúdo principal é Álgebra Linear: definimos invertibilidade, usamos propriedades de transposta e núcleo (kernel).

Passo 2

Prova da implicação “ Rightarrow”: suponha que A é invertível. Então existe A^-1 tal que
AA^-1=A^-1A=In
Como l(A^-1r)^top é a inversa de A^top, temos que A^top também é invertível. Logo, produto de matrizes invertíveis é invertível, e
A^topA
é produto de A^top por A. Portanto A^topA é invertível com inversa
l(A^topAr)^-1 = A^-1,l(A^-1r)^top

Passo 3

Prova da implicação “ Leftarrow”: suponha que A^topA é invertível. Vamos mostrar que ker(A)=0. Se xinker(A), então Ax=0. Multiplicando à esquerda por x^topA^top obtém-se
x^topA^topA,x = (Ax)^top(Ax) = 0
Como A^topA é invertível, sua forma quadrática x^topA^topAx só é zero quando x=0. Logo ker(A)=0, o que significa que A é injetora. Uma matriz quadrada injetora é invertível; assim A é invertível.

Resposta

Mostramos que A é invertível se, e somente se, A^topA é invertível.

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