Questão 31: Mostre que a matriz B=[ccc1 & 1 & 0 0 & -1 & 2 1 & 0 & 1] é a inversa de A=[ccc-1 & -1 & 2 2 & 1 & -2 1 & 1 & -1].

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = -1 & -1 & 2 2 & 1 & -2 1 & 1 & -1 e B = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 2 1 & 0 & 1
e pede para mostrar que B é a inversa de A. Para isso vamos usar a definição de inversa de matriz quadrada: B=A^-1 se, e somente se,
AB = I3
onde (AB)ij=sumk=1^3 AikBkj.

Passo 2

Vamos calcular o produto ,AB:
AB = -1 & -1 & 2 2 & 1 & -2 1 & 1 & -1 1 & 1 & 0 0 & -1 & 2 1 & 0 & 1 = (-1)cdot1 + (-1)cdot0 + 2cdot1 & (-1)cdot1 + (-1)cdot(-1) + 2cdot0 & (-1)cdot0 + (-1)cdot2 + 2cdot1 2cdot1 + 1cdot0 + (-2)cdot1 & 2cdot1 + 1cdot(-1) + (-2)cdot0 & 2cdot0 + 1cdot2 + (-2)cdot1 1cdot1 + 1cdot0 + (-1)cdot1 & 1cdot1 + 1cdot(-1) + (-1)cdot0 & 1cdot0 + 1cdot2 + (-1)cdot1
Agora computando cada entrada:
AB = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I3

Passo 3

Obtivemos AB = I3. Como A e B são quadradas de ordem 3, basta este produto para garantir que B é a inversa de A.

Resposta

A matriz B é de fato a inversa de A, pois AB = I3.

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