Encontre todas as unidades em \mathbb{Z}[i].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os elementos invertíveis (unidades) no anel \mathbb{Z}[i].
Conteúdo: teoria de unidades em anéis de números complexos. Vamos precisar da noção de norma em \mathbb{Z}[i].

Passo 2

Em \mathbb{Z}[i], um elemento u é unidade se e só se existe v\in\mathbb{Z}[i] tal que
u\cdot v = 1.

Passo 3

Definimos a norma de z=a+bi por
N(z) = a^2 + b^2.
Essa norma satisfaz N(z\cdot w)=N(z)\,N(w) e N(1)=1.

Passo 4

Se u é unidade e v é seu inverso, então
1 = N(1) = N(u\cdot v) = N(u)\,N(v).
Como N(u) e N(v) são inteiros não negativos, temos N(u)=1.

Passo 5

Resolvemos a^2 + b^2 = 1 em inteiros. As únicas soluções são
(a,b) = (1,0),\,(-1,0),\,(0,1),\,(0,-1).
Isso dá os elementos de norma 1: 1,\,-1,\,i,\,-i.

Resposta

As unidades em \mathbb{Z}[i] são
1,\quad -1,\quad i,\quad -i.

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