Mostre que se
é construtível então
é construtível.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se o polígono regular
com
lados é construtível com régua e compasso, então o polígono regular
com
lados também é construtível.
Informações dadas/assumidas (explicitamente):
Informações dadas/assumidas (explicitamente):
- Temos um polígono regular
já construído: isto é, seus vértices estão desenhados e pertencem a uma mesma circunferência de centro . Vou chamar vértices consecutivos por . - A construção deve usar apenas régua e compasso (interseção de retas e circunferências).
O objetivo final é transformar essa construção em uma construção do polígono regular delados, ou seja, obter vértices igualmente espaçados na mesma circunferência.
Passo 2
Ferramenta chave (e o porquê ela é permitida): bissetriz de um ângulo com régua e compasso. Vou ensinar passo a passo como construir a bissetriz de um ângulo e provar porque funciona — isso é fundamental porque dobrar o número de lados é exatamente “dividir ao meio” cada ângulo central do polígono.
Construção da bissetriz de um ângulo
(vértice
, lados pelos raios
e
):
- Com centro em
e qualquer raio , desenhe um arco que corte os lados e em dois pontos. Chame esses pontos de (no lado ) e (no lado ). Assim temos por construção. - Com centro em
e raio (escolhido de modo que intersecte o círculo de centro ), desenhe uma circunferência. Com o mesmo raio e centro em , desenhe outra circunferência. Essas duas circunferências interseccionam-se em dois pontos; escolha o ponto de intersecção que fica dentro do ângulo e chame-o de . Por construção temos . - Trace a reta
. A reta é a bissetriz do ângulo .
Prova de correção (por que
bissetriz): considere os triângulos
e
. Temos três igualdades de lados:
(ambos iguais a
),
(ambos iguais a
), e
é lado comum. Portanto os triângulos são congruentes por SSS, logo os ângulos
e
são iguais. Como
contém
, a reta
divide
em duas partes iguais, ou seja, é a bissetriz. Conclusão: a bissetriz de qualquer ângulo é construtível com régua e compasso.
Passo 3
Aplicando a bissetriz ao caso do polígono regular: descrição geométrica do que vamos fazer.
- No polígono regular
de centro , o ângulo central entre dois vértices consecutivos e é
- Se conseguirmos construir a bissetriz do ângulo
e intersectá-la com a circunferência que passa por (a circunferência circunscrita de centro ), o ponto de intersecção será um novo ponto na circunferência tal que os arcos e são iguais. Em termos do ângulo central, cada um desses arcos corresponde ao ângulo
- Esse novo ponto
fica exatamente entre e ao longo da circunferência, produzindo dois vértices adjacentes com ângulo central .
Passo 4
Construção completa do
e garantia de regularidade:
- Para cada par de vértices consecutivos
do polígono (com índices tomados módulo ), construa a bissetriz do ângulo usando o procedimento do Passo 2. - Intersecte cada bissetriz com a circunferência circunscrita (que já existe porque
é dado). O ponto de interseção entre a bissetriz e a circunferência chame de . Por construção, se situa entre e . - Repetindo para todos os
pares consecutivos, obtemos novos pontos . Juntando esses novos pontos com os originais obtemos exatamente pontos na circunferência. - Cada ângulo central entre vértices consecutivos na nova coleção é
, porque os arcos foram construídos como metades dos arcos originais de comprimento . Assim todos os vértices são equiespaçados ao redor da circunferência — isto é, formam um polígono regular. - Cada passo acima usa apenas operações de régua e compasso (traçar arcos, interseções), logo os novos vértices são constructíveis.
Passo 5
Notas práticas e observações para a prova (dicas rápidas):
- Não é necessário reconstruir o centro
ou a circunferência: eles já existem porque é construtível. - A construção da bissetriz é uma ferramenta clássica e curta; memorizá-la ajuda muito para este tipo de problema.
- Exemplo mental rápido: se
(triângulo equilátero) é construtível (sim), bissetando os ângulos centrais obtemos os vértices de (hexágono regular) — é o caso concreto ilustrativo da operação.
Resposta
Se
é construtível então
é construtível.