Mostre que se P_{n} é construtível então P_{2 n} é construtível.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se o polígono regular P_{n} com n lados é construtível com régua e compasso, então o polígono regular P_{2n} com 2n lados também é construtível.
Informações dadas/assumidas (explicitamente):
  • Temos um polígono regular P_{n} já construído: isto é, seus n vértices estão desenhados e pertencem a uma mesma circunferência de centro O. Vou chamar vértices consecutivos por A_{1},A_{2},\dots,A_{n}.
  • A construção deve usar apenas régua e compasso (interseção de retas e circunferências).
    O objetivo final é transformar essa construção em uma construção do polígono regular de 2n lados, ou seja, obter 2n vértices igualmente espaçados na mesma circunferência.

Passo 2

Ferramenta chave (e o porquê ela é permitida): bissetriz de um ângulo com régua e compasso. Vou ensinar passo a passo como construir a bissetriz de um ângulo e provar porque funciona — isso é fundamental porque dobrar o número de lados é exatamente “dividir ao meio” cada ângulo central do polígono.
Construção da bissetriz de um ângulo \angle XOY (vértice O, lados pelos raios OX e OY):
  1. Com centro em O e qualquer raio r>0, desenhe um arco que corte os lados OX e OY em dois pontos. Chame esses pontos de U (no lado OX) e V (no lado OY). Assim temos \,OU = OV = r por construção.
  2. Com centro em U e raio s (escolhido de modo que intersecte o círculo de centro V), desenhe uma circunferência. Com o mesmo raio s e centro em V, desenhe outra circunferência. Essas duas circunferências interseccionam-se em dois pontos; escolha o ponto de intersecção que fica dentro do ângulo e chame-o de W. Por construção temos \,UW = VW = s.
  3. Trace a reta OW. A reta OW é a bissetriz do ângulo \angle XOY.
Prova de correção (por que OW bissetriz): considere os triângulos \triangle O U W e \triangle O V W. Temos três igualdades de lados: OU = OV (ambos iguais a r), UW = VW (ambos iguais a s), e OW é lado comum. Portanto os triângulos são congruentes por SSS, logo os ângulos \angle UOW e \angle WOV são iguais. Como \angle XOY contém \angle UOV, a reta OW divide \angle XOY em duas partes iguais, ou seja, é a bissetriz. Conclusão: a bissetriz de qualquer ângulo é construtível com régua e compasso.

Passo 3

Aplicando a bissetriz ao caso do polígono regular: descrição geométrica do que vamos fazer.
  • No polígono regular P_{n} de centro O, o ângulo central entre dois vértices consecutivos A_{k} e A_{k+1} é
\frac{2\pi}{n}.
  • Se conseguirmos construir a bissetriz do ângulo \angle A_{k}OA_{k+1} e intersectá-la com a circunferência que passa por A_{k} (a circunferência circunscrita de centro O), o ponto de intersecção será um novo ponto B_{k} na circunferência tal que os arcos A_{k}B_{k} e B_{k}A_{k+1} são iguais. Em termos do ângulo central, cada um desses arcos corresponde ao ângulo
\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{n}=\frac{\pi}{n}.
  • Esse novo ponto B_{k} fica exatamente entre A_{k} e A_{k+1} ao longo da circunferência, produzindo dois vértices adjacentes com ângulo central \pi/n.

Passo 4

Construção completa do P_{2n} e garantia de regularidade:
  1. Para cada par de vértices consecutivos (A_{k},A_{k+1}) do polígono P_{n} (com índices tomados módulo n), construa a bissetriz do ângulo \angle A_{k}OA_{k+1} usando o procedimento do Passo 2.
  2. Intersecte cada bissetriz com a circunferência circunscrita (que já existe porque P_{n} é dado). O ponto de interseção entre a bissetriz e a circunferência chame de B_{k}. Por construção, B_{k} se situa entre A_{k} e A_{k+1}.
  3. Repetindo para todos os n pares consecutivos, obtemos n novos pontos B_{1},\dots,B_{n}. Juntando esses n novos pontos com os n originais A_{1},\dots,A_{n} obtemos exatamente 2n pontos na circunferência.
  4. Cada ângulo central entre vértices consecutivos na nova coleção é \pi/n, porque os arcos foram construídos como metades dos arcos originais de comprimento 2\pi/n. Assim todos os 2n vértices são equiespaçados ao redor da circunferência — isto é, formam um polígono regular.
  5. Cada passo acima usa apenas operações de régua e compasso (traçar arcos, interseções), logo os novos vértices são constructíveis.

Passo 5

Notas práticas e observações para a prova (dicas rápidas):
  • Não é necessário reconstruir o centro O ou a circunferência: eles já existem porque P_{n} é construtível.
  • A construção da bissetriz é uma ferramenta clássica e curta; memorizá-la ajuda muito para este tipo de problema.
  • Exemplo mental rápido: se P_{3} (triângulo equilátero) é construtível (sim), bissetando os ângulos centrais obtemos os vértices de P_{6} (hexágono regular) — é o caso concreto ilustrativo da operação.

Resposta

Se P_{n} é construtível então P_{2n} é construtível.

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