2 Mostre que os ângulos da base de um triângulo isósceles são agudos.

Passo 1

Temos um triângulo ABC isósceles com AB = AC. Por definição, o “apex” é o vértice A e a base é o lado BC. Queremos mostrar que os ângulos da base, isto é, ang<= ABC e ang<= ACB, são agudos (menores que 90^circ). Vamos usar a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo e o fato de que, num isósceles, os ângulos na base são iguais.

Passo 2

Denotemos
alpha = ang<= BAC (ângulo do vértice)
beta = ang<= ABC e
gamma = ang<= ACB.
Como o triângulo é isósceles com AB=AC, temos
beta = gamma

Passo 3

Pela propriedade fundamental da geometria plana, a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180^circ, ou seja,
alpha + beta + gamma = 180^circ
Substituindo gamma=beta, obtém-se
alpha + 2beta = 180^circ

Passo 4

Como alpha é um ângulo interno de um triângulo, ele satisfaz alpha>0^circ. Logo,
2beta = 180^circ - alpha < 180^circ
e dividindo ambos os lados por 2 resulta
beta < 90^circ

Passo 5

Concluímos que beta=ang<= ABC < 90^circ. Pelo mesmo raciocínio (já que gamma=beta), ang<= ACB<90^circ. Portanto, ambos os ângulos da base são agudos.

Resposta

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são agudos porque, definindo beta o valor de cada ângulo da base, obtemos beta=(180^circ-alpha)/2<90^circ.

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