(3,0 pts) Uma partícula se move com funçāo posiçāo
alpha(t)=(t ln t, t)
Mostre que velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula no instante t=e^-1 são, respectivamente,
v(e^-1)=(0,1), a(e^-1)=(e, 0) e nu(e^-1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo t como
alpha(t) = (t ln t, , t)
e pede (1) a velocidade, (2) a aceleração e (3) a velocidade escalar no instante t = e^-1. Vamos usar derivação de funções vetoriais para obter alpha'(t) e alpha''(t), depois avaliar em t=e^-1 e, por fim, calcular a norma de alpha'(t).

Passo 2

Derivando componente a componente,
ddt[tln t] = ln t + 1, ddt[t] = 1,
logo
v(t) = alpha'(t) = (ln t + 1,,1)
Em t=e^-1 temos ln(e^-1) = -1, então ln(e^-1)+1 = 0. Assim,
vl(e^-1r) = (0,,1)

Passo 3

Derivando novamente v(t),
ddt[ln t + 1] = 1t, ddt[1] = 0,
portanto
a(t) = alpha''(t) = l(1/t,,0r)
Em t=e^-1 vale 1/(e^-1) = e, logo
al(e^-1r) = (e,,0)

Passo 4

A velocidade escalar nu(t) é a norma de v(t):
nu(t) = |v(t)| = raiz(ln t + 1)^2 + 1^2
Em t=e^-1 temos (ln(e^-1)+1)^2 = 0 e 1^2 = 1, então
nul(e^-1r) = raiz1 = 1

Resposta

v(e^-1) = (0,,1), a(e^-1) = (e,,0), nu(e^-1) = 1

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