Mostre que a aplicação da equação de Maxwell-Stefan, para uma mistura binária e ideal, recai na Lei de Fick.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente mostre que, para uma mistura binária ideal, a equação de Maxwell–Stefan vira a Lei de Fick. Então o conteúdo aqui é transferência de massa: usar a equação de Maxwell–Stefan, relacionar com potencial químico em mistura ideal e depois mostrar que dá a forma . Vamos precisar de
• Equação de Maxwell–Stefan para duas espécies
• Relação de potencial químico em mistura ideal ( )
• Definição de fluxo molar difusivo e a condição de mistura binária ( )

Passo 2

Escrevendo a equação de Maxwell–Stefan para a espécie 1 num par binário:
-,x1,nablamu1 ;=; RT,x1x2,v1 - v2D12
Aqui
-,nablamu1 ;=; RT,x2,v1-v2D12 é o gradiente do potencial químico de v1 - v2 ;=;-,D12RT,l(nablamu1 - nablamu2r)
é a velocidade molar de
é o coeficiente de difusão Maxwell–Stefan
Dividindo os dois lados por , fica
E, subtraindo a equação equivalente para a espécie 2, você mostra que

Passo 3

Agora, como a mistura é ideal, usamos
mui ;=;mui^0 + RTln xi Longrightarrow nablamui ;=;RT,nabla xixi
Logo
nablamu1 - nablamu2 = RTl(nabla x1x1-nabla x2x2r)
Mas nablamu1 - nablamu2 = RT;nabla x1;l(1x1+1x2r) = RT;nabla x1;x1+x2x1x2 = RTx1x2,nabla x1 implica v1 - v2 = -,D12RT;RTx1x2,nabla x1 = -,D12,nabla x1x1x2 , então
Substituindo em :

Passo 4

Falta ligar isso com o fluxo molar difusivo de J1 ;=; c,x1,(v1 - v) com v = x1v1 + x2v2 . Definimos
J1 = c,x1,x2,(v1-v2) = c,x1x2l(-D12,nabla x1x1x2r) = -,c,D12,nabla x1
Em mistura binária dá J1 = -D12,nabla c1 . Então
Se (concentração total) for constante, então e chegamos na forma tradicional:

Resposta

A aplicação da equação de Maxwell–Stefan para mistura binária ideal leva exatamente à Lei de Fick
boxedJ1 ;=;-,D12,nabla c1

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