Mostre que a aplicação da equação de Maxwell-Stefan, para uma mistura binária e ideal, recai na Lei de Fick.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente mostre que, para uma mistura binária ideal, a equação de Maxwell–Stefan vira a Lei de Fick. Então o conteúdo aqui é transferência de massa: usar a equação de Maxwell–Stefan, relacionar com potencial químico em mistura ideal e depois mostrar que dá a forma
. Vamos precisar de
• Equação de Maxwell–Stefan para duas espécies
• Relação de potencial químico em mistura ideal ( )
• Definição de fluxo molar difusivo e a condição de mistura binária ( )
• Equação de Maxwell–Stefan para duas espécies
• Relação de potencial químico em mistura ideal (
• Definição de fluxo molar difusivo e a condição de mistura binária (
Passo 2
Escrevendo a equação de Maxwell–Stefan para a espécie 1 num par binário:
Aqui
– é o gradiente do potencial químico de
– é a velocidade molar de
– é o coeficiente de difusão Maxwell–Stefan
Dividindo os dois lados por , fica
–
–
–
Dividindo os dois lados por
E, subtraindo a equação equivalente para a espécie 2, você mostra que
Passo 3
Agora, como a mistura é ideal, usamos
Logo
Mas
implica
, então
Substituindo em
:
Passo 4
Falta ligar isso com o fluxo molar difusivo de
. Definimos
Em mistura binária dá
. Então
Se
(concentração total) for constante, então
e chegamos na forma tradicional:
Resposta
A aplicação da equação de Maxwell–Stefan para mistura binária ideal leva exatamente à Lei de Fick