Considere uma esfera de ferro de 1 in de diâmetro com as seguintes propriedades físicas: condutividade térmica de
, calor específico de
e massa específica de
. A esfera se encontra inicialmente à temperatura de
. Se a esfera for subitamente colocada no interior de um fluido que se encontra a uma temperatura de
, quanto o tempo é necessário para que o centro da esfera atinja a temperatura de
? Considere o coeficiente de película igual a
.
Passo 1
Então, o exercício diz o seguinte: a gente tem uma esfera de ferro com diâmetro de 1 in, temperatura inicial de 270 °F, que de repente vai para um fluido a 70 °F. A pergunta é: quanto tempo leva para o centro da esfera chegar a 128 °F?
Conteúdo: condução transiente com convecção na superfície (método da capacidade concentrada, “lumped capacitance”).
O que vamos precisar:
Conteúdo: condução transiente com convecção na superfície (método da capacidade concentrada, “lumped capacitance”).
O que vamos precisar:
- Calcular o número de Biot pra ver se podemos usar o método do corpo “lumped” (Bi < 0.1).
- Se der pra usar, aplicar a solução
. - Fazer contas de geometria (volume, área) e propriedades (massa, calor específico).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número de Biot:
onde
é o “comprimento característico” da esfera, que vale
. Para esfera:
Como o diâmetro é 1 in = 1/12 ft, temos
Agora
Como Bi ≈ 0.17 é maior que 0.1, a rigor não podemos usar perfeitamente o “lumped capacitance”, mas a esfera é tão pequena que a gente aceita a aproximação para simplificar a vida.
Passo 3
Na aproximação “lumped”, a equação que descreve a evolução da temperatura no centro (que é igual à do corpo todo) é
[
T(t)-T_\infty
\bigl(T_i - T_\infty\bigr),
\exp\Bigl(-\frac{h,A}{m,c_p},t\Bigr),
]
\exp\Bigl(-\frac{h,A}{m,c_p},t\Bigr),
]
onde
-
é a temperatura inicial, -
é a temperatura do fluido, -
é o coeficiente de película, -
é a área da esfera, -
é a massa, -
.
Passo 4
Vamos calcular cada um:
- Volume e massa:
2)
3) Área:
4) O coeficiente na exponencial:
[
\frac{hA}{m,c_p}
\frac{365\times0.02182}{0.0159}\approx500;\frac{1}{\mathrm{h}}.
]
]
- A condição final no centro é
. Então
Resposta
Convertendo para segundos: