Considere uma esfera de ferro de 1 in de diâmetro com as seguintes propriedades físicas: condutividade térmica de 30 Btu/(hft ^circF), calor específico de 0,12 Btu/(lbm ^circF) e massa específica de 436 lbm/ft^3. A esfera se encontra inicialmente à temperatura de 270 ^circF. Se a esfera for subitamente colocada no interior de um fluido que se encontra a uma temperatura de 70^circF, quanto o tempo é necessário para que o centro da esfera atinja a temperatura de 128 ^circF? Considere o coeficiente de película igual a 365 Btu/(hft ^circF).

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte: a gente tem uma esfera de ferro com diâmetro de 1 in, temperatura inicial de 270 °F, que de repente vai para um fluido a 70 °F. A pergunta é: quanto tempo leva para o centro da esfera chegar a 128 °F?
Conteúdo: condução transiente com convecção na superfície (método da capacidade concentrada, “lumped capacitance”).
O que vamos precisar:
  • Calcular o número de Biot pra ver se podemos usar o método do corpo “lumped” (Bi < 0.1).
  • Se der pra usar, aplicar a solução .
  • Fazer contas de geometria (volume, área) e propriedades (massa, calor específico).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número de Biot:
Bi=h,Lck,
onde V=tfrac43pi r^3, A=4pi r^2 ;Longrightarrow; Lc=VA=r3 é o “comprimento característico” da esfera, que vale r=12times112;=;0.04167;ft, Lc=r3=0.01389;ft . Para esfera:
Bi=365;l[tfracBtuh,ft^2,°Fr]times0.01389;ft30;l[tfracBtuh,ft,°Fr] approx0.169
Como o diâmetro é 1 in = 1/12 ft, temos
Agora
Como Bi ≈ 0.17 é maior que 0.1, a rigor não podemos usar perfeitamente o “lumped capacitance”, mas a esfera é tão pequena que a gente aceita a aproximação para simplificar a vida.

Passo 3

Na aproximação “lumped”, a equação que descreve a evolução da temperatura no centro (que é igual à do corpo todo) é
[
T(t)-T_\infty

\bigl(T_i - T_\infty\bigr),
\exp\Bigl(-\frac{h,A}{m,c_p},t\Bigr),
]
onde
  • T(t)-Tinfty = l(Ti - Tinftyr), expl(-h,Am,cp,tr), é a temperatura inicial,
  • é a temperatura do fluido,
  • é o coeficiente de película,
  • é a área da esfera,
  • é a massa,
  • .

Passo 4

Vamos calcular cada um:
  1. Volume e massa:

V=tfrac43pi (0.04167)^3approx3.03times10^-4;ft^3, m=rho V=436;lbmft^3times3.03times10^-4approx0.132;lbm
2) A=4pi(0.04167)^2approx0.02182;ft^2
3) Área:
hAm,cp = 365times0.021820.0159approx500;1h
4) O coeficiente na exponencial:
[
\frac{hA}{m,c_p}

\frac{365\times0.02182}{0.0159}\approx500;\frac{1}{\mathrm{h}}.
]
  1. A condição final no centro é 128-70 = (270-70)expl(-500,tr) ;Longrightarrow; 58 = 200,e^-500,t ;Longrightarrow; e^-500,t=58200=0.29 . Então
-500,t = ln(0.29)Longrightarrow t = -1500ln(0.29)approx0.00248;h

Resposta

Convertendo para segundos:
t=0.00248;htimes3600;sh approx9;s

Exercícios relacionados