Mostre que a aplicação F: R^3 R dada por F(x, y, z)=2 x-3 y+z é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Fcolon R^3 to R, F(x,y,z)=2x-3y+z
e pede para mostrarmos que F é uma transformação linear. Para isso vamos usar a definição: F é linear se, para todos u,vinR^3 e todo escalar lambdainR, valem
F(u+v)=F(u)+F(v) e F(lambda u)=lambda,F(u)

Passo 2

Tomemos u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em R^3. Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e calculamos
F(u+v) =2(x1+x2)-3(y1+y2)+(z1+z2) =(2x1-3y1+z1)+(2x2-3y2+z2) =F(u)+F(v)
Isso prova a propriedade da aditividade.

Passo 3

Agora peguemos um escalar lambda e o vetor u=(x1,y1,z1). Então
lambda u=(lambda x1,;lambda y1,;lambda z1),
e
F(lambda u) =2(lambda x1)-3(lambda y1)+(lambda z1) =lambdal(2x1-3y1+z1r) =lambda,F(u)
Isso mostra a homogeneidade.

Resposta

A aplicação F(x,y,z)=2x-3y+z satisfaz
F(u+v)=F(u)+F(v) e F(lambda u)=lambda,F(u),
portanto é uma transformação linear.

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