Mostre que a aplicação T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x+1,2 y, x+y) não é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^2toR^3, T(x,y)=(x+1,,2y,,x+y)
e pede para mostrar que T não é uma transformação linear. O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente a definição de transformação linear e a propriedade de que toda transformação linear deve enviar o vetor zero no domínio para o vetor zero no contradomínio.

Passo 2

Recordando a definição, uma aplicação Tcolon Vto W entre espaços vetoriais é linear se, e somente se, satisfaz para todos u,vin V e todo escalar c:
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u)
Uma consequência imediata dessas propriedades é que
T(0V)=0W,
ou seja, o vetor zero de V deve ser enviado no vetor zero de W.

Passo 3

Vamos verificar o que acontece com o vetor zero de R^2, que é (0,0).
T(0,0)=(0+1,,2cdot 0,,0+0)=(1,0,0)
Como (1,0,0)neq(0,0,0), concluímos que T(0,0)neq 0R^3, o que viola a propriedade necessária para T ser linear.

Resposta

A aplicação T não é linear porque não satisfaz T(0,0)=0R^3.

Exercícios relacionados