Usando o método de Gauss-Jordan, encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares:
b) l2 x1+2 x2+2 x3=0 -2 x1+5 x2+2 x3=1 8 x1+x2+4 x3=-1

Passo 1

O enunciado pede para a gente resolver, pelo método de Gauss–Jordan, o sistema
2x1+2x2+2x3=0, -2x1+5x2+2x3=1, 8x1+x2+4x3=-1
O conteúdo aqui é eliminação de variáveis por pivôs, transformando a matriz aumentada até a forma reduzida e identificando variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
2 & 2 & 2 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1
Para iniciar o Gauss–Jordan, vamos obter pivô 1 em x1 dividindo a linha 1 por 2 e depois zerar as entradas de x1 nas linhas 2 e 3:
L1 tfrac12L1, L2 L2+2L1, L3 L3-8L1
Isso leva a
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 3

Agora vamos zerar a entrada de x2 na linha 3 somando a linha 2:
L3 L3+L2 ;Longrightarrow; 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & 0 & 0 & | & 0
Em seguida, normalizamos o pivô da linha 2 e zeramos o coeficiente de x2 na linha 1:
L2 tfrac17L2, L1 L1-L2,
obtendo
1 & 0 & tfrac37 & | & -tfrac17 0 & 1 & tfrac47 & | & tfrac17 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 4

Na forma reduzida vemos que as variáveis principais são x1 e x2, e x3 é livre. Chamamos
x3=t, tinR
Das duas primeiras linhas temos
x1+tfrac37t=-tfrac17, x2+tfrac47t=tfrac17
Resolvendo em função de t, fica
x1=-tfrac17-tfrac37t, x2=tfrac17-tfrac47t, x3=t

Resposta

boxed l(x1,x2,x3r) =l(-tfrac1+3t7,;tfrac1-4t7,;tr), tinR

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