Seja . Defina em W as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação de matriz por escalar. Verifique que W é um subespaço vetorial de M2(R).
Passo 1
O enunciado define
W = a & b c & din M2(R) mid d = a + b + c
e pede para mostrar que W é um subespaço vetorial de M2(R). Para isso, vamos verificar as três propriedades: (i) o vetor zero pertence a W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que a matriz nula está em W. A matriz nula em M2(R) é
O = 0 & 0 [6pt] 0 & 0
Aqui a=b=c=d=0, e de fato
d = 0 = 0 + 0 + 0 = a + b + c
Logo Oin W.]
Passo 3
Verificamos a fechamento sob soma. Sejam
A = a & b c & din W e A' = a' & b' c' & d'in W
Pelo fato de A e A' pertencerem a W, temos
d = a + b + c e d' = a' + b' + c'
Então
A + A' = a + a' & b + b' [3pt] c + c' & d + d'
E
d + d' = (a + b + c) + (a' + b' + c') = (a + a') + (b + b') + (c + c'),
o que mostra que A+A' satisfaz a mesma condição e portanto A + A'in W.]
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e
A = a & b c & din W,
com d = a + b + c. Então
lambda A = lambda a & lambda b [3pt] lambda c & lambda d
Observamos que
lambda d = lambda,(a + b + c) = lambda a + lambda b + lambda c,
portanto lambda A também pertence a W.]
Resposta
Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de M2(R).