Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
\begin{array}{cclc}T: & R^{2} & \longrightarrow & R^{2} \\\ & (x, y) & \longmapsto & (x+2 y, y)\end{array}

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
T: \mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2},\qquad (x,y)\longmapsto (x+2y,\;y).
O que se pede:
  • Mostrar que T é uma transformação linear (ou seja, provar que satisfaz as propriedades de linearidade).
  • Encontrar a matriz da transformação T em relação à base padrão de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A fórmula que calcula T(x,y) a partir de (x,y).
  • O espaço de partida e chegada é \mathbb{R}^{2} (base padrão implícita).

Passo 2

Definição de transformação linear (lembrete didático): uma aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\quad T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Aqui cada vetor u ou v tem coordenadas escritas como (x,y) e as operações de soma e multiplicação por escalar são as usuais em \mathbb{R}^{2}. Vou verificar essas duas propriedades diretamente com a fórmula dada para T.

Passo 3

Verificação da aditividade. Tome dois vetores arbitrários
u=(x_1,y_1),\qquad v=(x_2,y_2).
A soma é u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2). Aplicando T à soma:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=( (x_1+x_2)+2(y_1+y_2),\;y_1+y_2 ).
Agora calcule T(u)+T(v) separadamente:
T(u)=T(x_1,y_1)=(x_1+2y_1,\;y_1),
T(v)=T(x_2,y_2)=(x_2+2y_2,\;y_2).
Somando:
T(u)+T(v)=(x_1+2y_1 + x_2+2y_2,\; y_1+y_2) = ((x_1+x_2)+2(y_1+y_2),\; y_1+y_2).
Comparando com o valor de T(u+v) visto antes, são iguais. Logo a aditividade vale:
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Tome um escalar \lambda\in\mathbb{R} e um vetor arbitrário u=(x,y). Então \lambda u=(\lambda x,\lambda y). Aplicando T:
T(\lambda u)=T(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x + 2\lambda y,\;\lambda y).
Fatorando \lambda nas coordenadas:
T(\lambda u)=(\lambda(x+2y),\;\lambda y)=\lambda\,(x+2y,\;y)=\lambda\,T(x,y)=\lambda\,T(u).
Portanto a homogeneidade também vale:
T(\lambda u)=\lambda\,T(u).

Passo 5

Conclusão sobre linearidade: como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários e escalar arbitrário, T é de fato uma transformação linear.

Passo 6

Como encontrar a matriz de T (explicação didática): a matriz de uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} em relação à base padrão \{e_1,e_2\} com e_1=(1,0) e e_2=(0,1) é a matriz cujas colunas são as imagens dos vetores da base pelas coordenadas em \mathbb{R}^{2}:
\text{Matriz}(T) = \begin{pmatrix} [T(e_1)] & [T(e_2)] \end{pmatrix},
onde [T(e_i)] é a coluna com as coordenadas de T(e_i).

Passo 7

Calcular T(e_1) e T(e_2):
T(e_1)=T(1,0)=(1+2\cdot 0,\;0)=(1,\;0).
T(e_2)=T(0,1)=(0+2\cdot 1,\;1)=(2,\;1).
Portanto as colunas da matriz de T na base padrão são, respectivamente, \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}]

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