Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
O que se pede:
- Mostrar que
é uma transformação linear (ou seja, provar que satisfaz as propriedades de linearidade). - Encontrar a matriz da transformação
em relação à base padrão de .
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A fórmula que calcula
a partir de . - O espaço de partida e chegada é
(base padrão implícita).
Passo 2
Definição de transformação linear (lembrete didático): uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Aqui cada vetor
ou
tem coordenadas escritas como
e as operações de soma e multiplicação por escalar são as usuais em
. Vou verificar essas duas propriedades diretamente com a fórmula dada para
.
Passo 3
Verificação da aditividade. Tome dois vetores arbitrários
A soma é
. Aplicando
à soma:
Agora calcule
separadamente:
Somando:
Comparando com o valor de
visto antes, são iguais. Logo a aditividade vale:
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Tome um escalar
e um vetor arbitrário
. Então
. Aplicando
:
Fatorando
nas coordenadas:
Portanto a homogeneidade também vale:
Passo 5
Conclusão sobre linearidade: como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários e escalar arbitrário,
é de fato uma transformação linear.
Passo 6
Como encontrar a matriz de
(explicação didática): a matriz de uma transformação linear
em relação à base padrão
com
e
é a matriz cujas colunas são as imagens dos vetores da base pelas coordenadas em
:
onde
é a coluna com as coordenadas de
.
Passo 7
Calcular
e
:
Portanto as colunas da matriz de
na base padrão são, respectivamente,
e
.]