Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
T: R^{2} \longrightarrow R^{3}

Passo 1

O enunciado só diz que existe uma aplicação T: \mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{3} e pede duas coisas:
  • Mostrar que a aplicação é uma transformação linear.
  • Encontrar a matriz da transformação.
Informações que foram dadas explicitamente:
  • O domínio é \mathbb{R}^{2}.
  • O contradomínio é \mathbb{R}^{3}.
Informação essencial que NÃO foi fornecida (portanto está faltando):
  • A regra de correspondência de T, isto é, como T age sobre um vetor \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Por exemplo, não foi dado algo do tipo T(x,y)=(2x+y,\;x-y,\;3y) ou outra fórmula. Sem essa regra não há como verificar linearidade específica nem calcular a matriz correspondente.

Passo 2

Por que é impossível concluir direto do enunciado?
Para mostrar que uma aplicação é linear e para encontrar sua matriz precisamos conhecer o comportamento de T em vetores do espaço (pelo menos em vetores de uma base). Sem a regra de T não há dados numéricos/algebraicos para testar as propriedades de linearidade nem para obter as colunas da matriz.
Vou, no entanto, ensinar passo a passo o procedimento correto que você deve aplicar quando a regra de T for fornecida. Assim, na prova você saberá exatamente o que fazer — e eu prometo que fica mais tranquilo depois de ver os passos concretos.

Passo 3

Definição e o que precisa ser verificado para linearidade (aulas rápidas e práticas).
A aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é linear se e somente se, para todos vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Essas duas propriedades (aditividade e homogeneidade) são a definição de transformação linear. Na prática é comum verificar linearidade de duas formas equivalentes:
  • Verificar diretamente essas duas propriedades usando a fórmula dada para T.
  • Ou verificar que T é dada por multiplicação por uma matriz (se for possível escrever T(x)=A x para alguma matriz A). Se existir tal matriz A, então T é linear automaticamente.

Passo 4

Como encontrar a matriz da transformação (método padrão usando a base canônica).
A base canônica de \mathbb{R}^{2} é
e_{1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad e_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Se T for linear, então a matriz A que representa T na base canônica (ou seja, tal que T(x)=A x para todo x) é obtida calculando-se as imagens dos vetores da base canônica e colocando-as como colunas:
A=\begin{pmatrix} \;T(e_{1})\; & \;T(e_{2})\;\end{pmatrix},
onde cada T(e_{i}) é visto como um vetor coluna em \mathbb{R}^{3}. Assim A será uma matriz 3\times 2.
Exemplo genérico: se
T(e_{1})=\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\\[2pt]c\end{pmatrix},\qquad T(e_{2})=\begin{pmatrix}d\\[2pt]e\\[2pt]f\end{pmatrix},
então
A=\begin{pmatrix} a & d\\[2pt] b & e\\[2pt] c & f \end{pmatrix}.]

Passo 5

Se T for dada por fórmulas coordenada a coordenada (forma mais comum na prova).
Muitas vezes o enunciado dá algo como
T(x,y)=\bigl(\phi_{1}(x,y),\;\phi_{2}(x,y),\;\phi_{3}(x,y)\bigr),
onde cada \phi_{i} é uma função de x e y. Se cada \phi_{i} for uma função linear em x,y (isto é, da forma \alpha_{i}x+\beta_{i}y), então a transformação é linear e a matriz é
A=\begin{pmatrix} \alpha_{1} & \beta_{1}\\[2pt] \alpha_{2} & \beta_{2}\\[2pt] \alpha_{3} & \beta_{3} \end{pmatrix},
porque
T\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{1}x+\beta_{1}y\\[2pt] \alpha_{2}x+\beta_{2}y\\[2pt] \alpha_{3}x+\beta_{3}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \beta_{1}\\[2pt] \alpha_{2} & \beta_{2}\\[2pt] \alpha_{3} & \beta_{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
Se alguma \phi_{i} for não linear (por exemplo x^{2}, xy, \sin x, etc.), então T não será linear — salvo casos muito específicos que violam a linearidade — e isso deve ser mostrado aplicando a definição (basta um contraexemplo com T(u+v)\neq T(u)+T(v) ou com T(cu)\neq cT(u)).]

Passo 6

Exemplo completo e detalhado (para treinar — não estou inventando a sua T, é apenas um exercício para você ver o procedimento na prática).
Considere a aplicação de exemplo
T\bigl(x,y\bigr)=\bigl(2x+y,\;x-y,\;3y\bigr).
Verificar linearidade:
  • Pegue u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}). Então
T(u+v)=T\bigl(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr) =\bigl(2(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2}),\; (x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2}),\;3(y_{1}+y_{2})\bigr).
Reagrupando termos isso é
T(u+v)=\bigl(2x_{1}+y_{1},\;x_{1}-y_{1},\;3y_{1}\bigr)+\bigl(2x_{2}+y_{2},\;x_{2}-y_{2},\;3y_{2}\bigr) =T(u)+T(v).
  • Para homogeneidade, seja c\in\mathbb{R}:
T(cu)=T\bigl(cx_{1},cy_{1}\bigr)=\bigl(2cx_{1}+cy_{1},\;cx_{1}-cy_{1},\;3cy_{1}\bigr)=c\bigl(2x_{1}+y_{1},\;x_{1}-y_{1},\;3y_{1}\bigr)=cT(u).
Como ambas propriedades valem, T é linear.
Encontrar a matriz:
  • Calcule T(e_{1}) e T(e_{2}):
T(e_{1})=T(1,0)=\bigl(2\cdot1+0,\;1-0,\;3\cdot0\bigr)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}, \qquad T(e_{2})=T(0,1)=\bigl(2\cdot0+1,\;0-1,\;3\cdot1\bigr)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]3\end{pmatrix}.
  • A matriz A é
A=\begin{pmatrix}T(e_{1}) & T(e_{2})\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 1\\[2pt] 1 & -1\\[2pt] 0 & 3 \end{pmatrix}.
E de fato T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resumo prático para aplicar na prova (checklist rápido):
  1. Verifique se a regra de T está dada; se não estiver, informe que falta informação (como aqui).
  2. Se a regra estiver dada por expressões, escreva T(x,y)=\bigl(\phi_{1}(x,y),\phi_{2}(x,y),\phi_{3}(x,y)\bigr).
  3. Teste se cada \phi_{i} é linear em x,y (isto é, da forma \alpha_{i}x+\beta_{i}y). Se alguma não for linear, em geral T não é linear — apresente um contraexemplo.
  4. Se todas forem lineares, calcule T(e_{1}) e T(e_{2}) e coloque como colunas para formar a matriz 3\times 2.

Resposta

Não é possível responder: o enunciado não fornece a regra explícita de T (como T(x,y)=\dots), logo não há como verificar linearidade nem calcular a matriz sem essa informação.

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