Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação. T: R^{2} \longrightarrow R^{3}
Passo 1
O enunciado só diz que existe uma aplicação T: \mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{3} e pede duas coisas:
Mostrar que a aplicação é uma transformação linear.
Encontrar a matriz da transformação.
Informações que foram dadas explicitamente:
O domínio é \mathbb{R}^{2}.
O contradomínio é \mathbb{R}^{3}.
Informação essencial que NÃO foi fornecida (portanto está faltando):
A regra de correspondência de T, isto é, como T age sobre um vetor \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Por exemplo, não foi dado algo do tipo T(x,y)=(2x+y,\;x-y,\;3y) ou outra fórmula. Sem essa regra não há como verificar linearidade específica nem calcular a matriz correspondente.
Passo 2
Por que é impossível concluir direto do enunciado?
Para mostrar que uma aplicação é linear e para encontrar sua matriz precisamos conhecer o comportamento de T em vetores do espaço (pelo menos em vetores de uma base). Sem a regra de T não há dados numéricos/algebraicos para testar as propriedades de linearidade nem para obter as colunas da matriz.
Vou, no entanto, ensinar passo a passo o procedimento correto que você deve aplicar quando a regra de T for fornecida. Assim, na prova você saberá exatamente o que fazer — e eu prometo que fica mais tranquilo depois de ver os passos concretos.
Passo 3
Definição e o que precisa ser verificado para linearidade (aulas rápidas e práticas).
A aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é linear se e somente se, para todos vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Essas duas propriedades (aditividade e homogeneidade) são a definição de transformação linear. Na prática é comum verificar linearidade de duas formas equivalentes:
Verificar diretamente essas duas propriedades usando a fórmula dada para T.
Ou verificar que T é dada por multiplicação por uma matriz (se for possível escrever T(x)=A x para alguma matriz A). Se existir tal matriz A, então T é linear automaticamente.
Passo 4
Como encontrar a matriz da transformação (método padrão usando a base canônica).
A base canônica de \mathbb{R}^{2} é
Se T for linear, então a matriz A que representa T na base canônica (ou seja, tal que T(x)=A x para todo x) é obtida calculando-se as imagens dos vetores da base canônica e colocando-as como colunas:
onde cada \phi_{i} é uma função de x e y. Se cada \phi_{i} for uma função linear em x,y (isto é, da forma \alpha_{i}x+\beta_{i}y), então a transformação é linear e a matriz é
Se alguma \phi_{i} for não linear (por exemplo x^{2}, xy, \sin x, etc.), então T não será linear — salvo casos muito específicos que violam a linearidade — e isso deve ser mostrado aplicando a definição (basta um contraexemplo com T(u+v)\neq T(u)+T(v) ou com T(cu)\neq cT(u)).]
Passo 6
Exemplo completo e detalhado (para treinar — não estou inventando a sua T, é apenas um exercício para você ver o procedimento na prática).
Considere a aplicação de exemplo
E de fato T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.]
Passo 7
Resumo prático para aplicar na prova (checklist rápido):
Verifique se a regra de T está dada; se não estiver, informe que falta informação (como aqui).
Se a regra estiver dada por expressões, escreva T(x,y)=\bigl(\phi_{1}(x,y),\phi_{2}(x,y),\phi_{3}(x,y)\bigr).
Teste se cada \phi_{i} é linear em x,y (isto é, da forma \alpha_{i}x+\beta_{i}y). Se alguma não for linear, em geral T não é linear — apresente um contraexemplo.
Se todas forem lineares, calcule T(e_{1}) e T(e_{2}) e coloque como colunas para formar a matriz 3\times 2.
Resposta
Não é possível responder: o enunciado não fornece a regra explícita de T (como T(x,y)=\dots), logo não há como verificar linearidade nem calcular a matriz sem essa informação.