Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
Pede duas coisas:
- Mostrar que
é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades de linearidade). - Encontrar a matriz de
relativa à base canônica de .
Informações relevantes dadas:
- A regra explícita de transformação: um par
vai para . - Não foi dada outra base, logo usaremos a base canônica
com e .
Passo 2
Lembrando (mini-aula): o que significa ser transformação linear?
Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Uma aplicação
Essas duas condições capturam a ideia de que
preserva soma e multiplicação por escalar. Para provar linearidade tipicamente calculamos
em soma e em múltiplo escalar e comparamos.
Passo 3
Prova da aditividade. Seja
e
. Então
Aplicando
ao somatório, pela definição do enunciado,
Agrupando termos:
Mas
e
. Portanto
Passo 4
Prova da homogeneidade. Seja
e
. Então
Aplicando
,
Como
e
, segue
Passo 5
Conclusão de linearidade. Como
satisfaz aditividade e homogeneidade para quaisquer vetores e escalares, concluímos que
é uma transformação linear.
Passo 6
Mini-aula sobre matriz de uma transformação linear: para uma transformação linear
, a matriz de
na base canônica é obtida aplicando
aos vetores da base canônica
e
. As colunas da matriz são as coordenadas de
e
, respectivamente.
Passo 7
Calcular as imagens dos vetores da base canônica:
Portanto as colunas da matriz (na base canônica) são
e
como colunas.
Passo 8
Escrever a matriz. Montando as colunas, a matriz de
na base canônica é
Passo 9
Verificação rápida (checar que a matriz reproduz a regra): para um vetor genérico
representado por
,
que coincide com
. Exemplo numérico:
, e a multiplicação pela matriz também dá
.]