Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
\begin{array}{lclc}T: & R^{2} & \longrightarrow & R^{2} \\\ & (x, y) & \longmapsto & (-y,-x)\end{array}

Passo 1

O enunciado dá a aplicação T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(-y,-x).
Pede duas coisas:
  • Mostrar que T é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades de linearidade).
  • Encontrar a matriz de T relativa à base canônica de \mathbb{R}^2.
Informações relevantes dadas:
  • A regra explícita de transformação: um par (x,y) vai para (-y,-x).
  • Não foi dada outra base, logo usaremos a base canônica \{e_1,e_2\} com e_1=(1,0) e e_2=(0,1).

Passo 2

Lembrando (mini-aula): o que significa ser transformação linear?
Uma aplicação T: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(Aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\quad T(cu)=c\,T(u).
Essas duas condições capturam a ideia de que T preserva soma e multiplicação por escalar. Para provar linearidade tipicamente calculamos T em soma e em múltiplo escalar e comparamos.

Passo 3

Prova da aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório, pela definição do enunciado,
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\bigl(-(y_1+y_2),\;-(x_1+x_2)\bigr).
Agrupando termos:
\bigl(-(y_1+y_2),\;-(x_1+x_2)\bigr)=(-y_1,-x_1)+(-y_2,-x_2).
Mas (-y_1,-x_1)=T(x_1,y_1)=T(u) e (-y_2,-x_2)=T(x_2,y_2)=T(v). Portanto
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Prova da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
c u = (c x,\; c y).
Aplicando T,
T(cu)=T(c x,\; c y)=\bigl(-(c y),\;-(c x)\bigr).
Como \bigl(-(c y),-(c x)\bigr) = c(-y,-x) e (-y,-x)=T(x,y)=T(u), segue
T(cu)=c\,T(u).

Passo 5

Conclusão de linearidade. Como T satisfaz aditividade e homogeneidade para quaisquer vetores e escalares, concluímos que T é uma transformação linear.

Passo 6

Mini-aula sobre matriz de uma transformação linear: para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a matriz de T na base canônica é obtida aplicando T aos vetores da base canônica e_1=(1,0) e e_2=(0,1). As colunas da matriz são as coordenadas de T(e_1) e T(e_2), respectivamente.

Passo 7

Calcular as imagens dos vetores da base canônica:
T(e_1)=T(1,0)=(-0,-1)=(0,-1),
T(e_2)=T(0,1)=(-1,0).
Portanto as colunas da matriz (na base canônica) são T(e_1) e T(e_2) como colunas.

Passo 8

Escrever a matriz. Montando as colunas, a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 0 & -1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificação rápida (checar que a matriz reproduz a regra): para um vetor genérico (x,y) representado por \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix},
A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot x + (-1)\cdot y\\[4pt] (-1)\cdot x + 0\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y\\[2pt]-x\end{pmatrix},
que coincide com T(x,y). Exemplo numérico: T(2,3)=(-3,-2), e a multiplicação pela matriz também dá \begin{pmatrix}-3\\\ -2\end{pmatrix}.]

Resposta

T é linear.
\begin{pmatrix} 0 & -1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}]

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