Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
\begin{array}{cccc}T: & R^{2} & \longrightarrow & R^{2} \\\ & (x, y) & \longmapsto & (x+y, x-y)\end{array}

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2,\qquad T(x,y)=(x+y,\;x-y),
e pede duas coisas:
  • Mostrar que T é uma transformação linear (ou seja, satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade);
  • Encontrar a matriz que representa T na base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Lembrando a definição de transformação linear: uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Aqui u e v serão escritos em coordenadas como u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Vou verificar as duas propriedades diretamente.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\big).
Reagrupando os termos:
T(u+v)=\big(x_1+y_1,\;x_1-y_1\big)+\big(x_2+y_2,\;x_2-y_2\big).
Mas \big(x_1+y_1,\;x_1-y_1\big)=T(x_1,y_1)=T(u) e \big(x_2+y_2,\;x_2-y_2\big)=T(x_2,y_2)=T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(cu)=c\,T(u).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
cu=(c x,\;c y).
Aplicando T:
T(cu)=T(c x,\;c y)=\big(c x + c y,\; c x - c y\big).
Como fator comum c em cada coordenada:
T(cu)=c\big(x+y,\;x-y\big)=c\,T(x,y)=c\,T(u).

Passo 5

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para quaisquer vetores e escalares, concluímos que T é uma transformação linear.

Passo 6

Agora vamos encontrar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2, onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
Calcule T(e_1) e T(e_2):
T(e_1)=T(1,0)=(1+0,\;1-0)=(1,1),
T(e_2)=T(0,1)=(0+1,\;0-1)=(1,-1).
A matriz que representa T na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base, portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2).]

Passo 7

Verificação rápida de que A age como T: para (x,y) visto como vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot x + 1\cdot y\\[4pt]1\cdot x + (-1)\cdot y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x+y\\[4pt]x-y\end{pmatrix},
que é exatamente T(x,y). Isso confirma a matriz encontrada.]

Resposta

T é transformação linear.\n \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}]

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