Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
e pede duas coisas:
- Mostrar que
é uma transformação linear (ou seja, satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade); - Encontrar a matriz que representa
na base canônica de .
Passo 2
Lembrando a definição de transformação linear: uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem
e
Aqui
e
serão escritos em coordenadas como
e
. Vou verificar as duas propriedades diretamente.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Seja
e
. Então
Aplicando
ao somatório:
Reagrupando os termos:
Mas
e
. Logo
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Seja
e
. Então
Aplicando
:
Como fator comum
em cada coordenada:
Passo 5
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para quaisquer vetores e escalares, concluímos que
é uma transformação linear.
Passo 6
Agora vamos encontrar a matriz de
na base canônica
de
, onde
e
.
Calcule
e
:
A matriz que representa
na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base, portanto
onde a primeira coluna é
e a segunda coluna é
.]
Passo 7
Verificação rápida de que
age como
: para
visto como vetor coluna
,
que é exatamente
. Isso confirma a matriz encontrada.]