Seja y=f(x), y>0, uma função derivável definida implicitamente pela equação
x^4+x y^3-2 y^2=1
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P de abscissa 1.

Passo 1

Temos a função y=f(x), y>0, definida implicitamente pela equação x^4 + x y^3 - 2y^2 = 1. O objetivo é usar diferenciação implícita para calcular f'(x) e depois obter a reta tangente no ponto de abscissa x=1.

Passo 2

Para achar a ordenada em x=1, substituímos x=1 em
1^4 + 1cdot y^3 - 2y^2 = 1
que simplifica para
y^3 - 2y^2 + 1 = 0

Passo 3

Verificamos que y=1 é raiz de y^3 - 2y^2 + 1=0 pois 1 - 2 + 1 = 0. Fatorando,
y^3 - 2y^2 + 1 = (y - 1)(y^2 - y - 1),
as outras raízes são 1pmraiz52. Escolhemos o ponto P=(1,1), que pertence ao ramo y>0 e leva a uma expressão simples.

Passo 4

Diferenciamos implicitamente x^4 + x y^3 - 2y^2 = 1 em relação a x. Aplicando regra do produto e cadeia,
ddx(x^4) + ddx(x y^3) - ddx(2y^2) = 0
4x^3 + (1cdot y^3 + xcdot 3y^2 y') - 4y y' = 0

Passo 5

Agrupando os termos que envolvem y' e isolando-o, obtemos
4x^3 + y^3 + (3x y^2 - 4y),y' = 0
Longrightarrow y' = -4x^3 - y^33x y^2 - 4y

Passo 6

No ponto (1,1), substituímos x=1 e y=1 em
y' = -4x^3 - y^33x y^2 - 4y
para obter
y'(1,1) = -4cdot1^3 - 1^33cdot1cdot1^2 - 4cdot1 = -5-1 = 5

Passo 7

Com inclinação m=5 e ponto P=(1,1), a equação da reta tangente é
y - 1 = 5(x - 1)

Resposta

y = 5x - 4

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