Seja
, uma função derivável definida implicitamente pela equação
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
de abscissa 1.
Passo 1
Temos a função
,
, definida implicitamente pela equação
. O objetivo é usar diferenciação implícita para calcular
e depois obter a reta tangente no ponto de abscissa
.
Passo 2
Para achar a ordenada em
, substituímos
em
que simplifica para
Passo 3
Verificamos que
é raiz de
pois
. Fatorando,
as outras raízes são
. Escolhemos o ponto
, que pertence ao ramo
e leva a uma expressão simples.
Passo 4
Diferenciamos implicitamente
em relação a
. Aplicando regra do produto e cadeia,
Passo 5
Agrupando os termos que envolvem
e isolando-o, obtemos
Passo 6
No ponto
, substituímos
e
em
para obter
Passo 7
Com inclinação
e ponto
, a equação da reta tangente é
Resposta
y = 5x - 4