Mostre que
arccos z=-i ln (i z pm raizz^2-1)

Passo 1

O que queremos é a função inversa de cos w, ou seja, dado zinC encontrar w tal que
cos w = z
Para isso vamos usar a definição exponencial
cos w = e^i w + e^-i w2,
além das propriedades de resolução de equações quadráticas em termos de e^i w e da função logaritmo complexo.

Passo 2

Colocando t=e^i w, a equação cos w=z fica
t + t^-12 = z Longrightarrow t + 1t = 2z Longrightarrow t^2 - 2z,t + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática em t obtemos
t = e^i w = z pm raizz^2 - 1

Passo 4

Aplicando o logaritmo complexo em ambos os lados vem
i,w = lnl(z pm raizz^2-1r) + 2pi i k,
onde kinZ reflete a multivalência de ln. Assim
w = -,i,lnl(z pm raizz^2-1r) + 2pi k
Escolhendo o ramo principal ( k=0 ) definimos
arccos z = -,i,lnl(z pm raizz^2-1r)

Passo 5

Para reescrever em termos de i z, note que multiplicar o argumento do logaritmo por i apenas acrescenta uma constante ln(i)=ipi/2, que pode ser absorvida no 2pi k. Logo uma forma equivalente é
arccos z = -,i,lnl(i z pm raizz^2 - 1r),
compreendendo a escolha de ramo adequado de raizcdot e ln.

Resposta

boxedarccos z = -,i,ln!l(i z pm raizz^2 - 1r)

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