Seja o número z=i.
(a) [1 , 0 pontos ] Represente z no plano complexo.
(b) [1,0 pontos ] Escreva z na forma trigonométrica e na forma polar.
(c) [1,0 pontos ] Calcule z^10.
(d) [1,0 pontos ] Calcule raiz[3]z.

Passo 1

O enunciado define o número complexo z=i e pede quatro coisas:
– (a) representar z no plano de Argand;
– (b) escrever z na forma trigonométrica e na forma polar;
– (c) calcular z^10;
– (d) calcular as raízes cúbicas de z.
Para isso vamos usar conceitos de módulo e argumento de número complexo, a forma z=r(costheta+isintheta), o Teorema de De Moivre e a fórmula para extração de raízes.

Passo 2

Representação de z=i no plano complexo.
O número i tem parte real zero e parte imaginária igual a 1, então corresponde ao ponto de coordenadas (0,1) no plano de Argand.

Passo 3

Cálculo do módulo e argumento de z.
O módulo é
r = |i| = raiz0^2 + 1^2 = 1
O argumento principal theta satisfaz
costheta = 0, sintheta = 1,
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theta = pi2
Assim a forma trigonométrica é
z = cosl(tfracpi2r) + i,sinl(tfracpi2r),
e a forma polar, que é o par (r,theta), fica
(1,tfracpi2)

Passo 4

Cálculo de z^10 via Teorema de De Moivre.
Se z = r e^itheta, então
z^10 = r^10 e^i,10theta
Aqui r=1 e theta=tfracpi2, então
z^10 = 1^10 e^i,10cdotpi2 = e^i,5pi = cos(5pi) + isin(5pi) = -1

Passo 5

Cálculo das raízes cúbicas de z.
Queremos as soluções de w^3 = i. Já vimos que i = e^i(pi/2 + 2pi k). Então as raízes são
wk = e^ipi/2 + 2pi k3 = cos!l(tfracpi6 + tfrac2pi k3r) + i,sin!l(tfracpi6 + tfrac2pi k3r),
com k=0,1,2. Explicitamente:
Para k=0
w0 = cosl(tfracpi6r) + isinl(tfracpi6r) = tfracraiz32 + tfraci2
Para k=1
w1 = cosl(tfracpi6 + tfrac2pi3r) + isinl(tfracpi6 + tfrac2pi3r) = -tfracraiz32 + tfraci2
Para k=2
w2 = cosl(tfracpi6 + tfrac4pi3r) + isinl(tfracpi6 + tfrac4pi3r) = -i

Resposta

(a) Representação de z=i: ponto (0,1) no plano complexo.
(b) Forma trigonométrica:
z = cosl(tfracpi2r) + isinl(tfracpi2r)
Forma polar:
(1,tfracpi2)
(c)
z^10 = -1
(d) Raízes cúbicas de z:
cos!l(tfracpi6 + tfrac2pi k3r) + i,sin!l(tfracpi6 + tfrac2pi k3r), k=0,1,2,
i.e. tfracraiz32+tfraci2,;-tfracraiz32+tfraci2,;-i.

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