Seja o número
.
(a)
pontos
Represente
no plano complexo.
(b)
pontos
Escreva
na forma trigonométrica e na forma polar.
(c)
pontos
Calcule
.
(d)
pontos
Calcule
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define o número complexo
e pede quatro coisas:
– (a) representar no plano de Argand;
– (b) escrever na forma trigonométrica e na forma polar;
– (c) calcular ;
– (d) calcular as raízes cúbicas de .
Para isso vamos usar conceitos de módulo e argumento de número complexo, a forma , o Teorema de De Moivre e a fórmula para extração de raízes.
– (a) representar
– (b) escrever
– (c) calcular
– (d) calcular as raízes cúbicas de
Para isso vamos usar conceitos de módulo e argumento de número complexo, a forma
Passo 2
Representação de
no plano complexo.
O número tem parte real zero e parte imaginária igual a 1, então corresponde ao ponto de coordenadas
no plano de Argand.
O número
Passo 3
Cálculo do módulo e argumento de
.
O módulo é
O módulo é
O argumento principal
satisfaz
logo
Assim a forma trigonométrica é
e a forma polar, que é o par
, fica
Passo 4
Cálculo de
via Teorema de De Moivre.
Se , então
Se
Aqui
e
, então
Passo 5
Cálculo das raízes cúbicas de
.
Queremos as soluções de . Já vimos que
. Então as raízes são
Queremos as soluções de
com
. Explicitamente:
Para
Para
Para
Para
Resposta
(a) Representação de
: ponto
no plano complexo.
(b) Forma trigonométrica:
(b) Forma trigonométrica:
Forma polar:
(c)
(d) Raízes cúbicas de
:
i.e.
.